2.2.   Kinematika sústavy hmotných bodov a telesa

 

2.2.1 Základné  kinematické pojmy

Zaviedli sme si pojem hmotný bod, pod ktorým rozumieme skúmaný objekt, ktorý má z hľadiska vzájomného pôsobenia s inými objektmi všetky vlastnosti skúmaného telesa, avšak neuvažujeme jeho geometrické rozmery. Konečný počet hmotných bodov, určitým spôsobom vymedzených voči okoliu,  ktoré skúmame  ako celok a pri tom všetky jednotlivé hmotné objekty patriace do sústavy považujeme za hmotné body, nazveme sústavou hmotných bodov. Ich počet závisí od riešenej problematiky. Za sústavu hmotných bodov možno považovať napr. každé makroskopické teleso, alebo vymedzenú sústavu telies.

Uvažujme n hmotných bodov  o hmotnostiach m₁, m₂, ....., m_{n .} Poloha týchto hmotných bodov v karteziánskej súradnicovej sústave nech je určená polohovými vektormi, r₁, r₂ , ...     , r_n. Vzájomnú polohu dvoch hmotných bodov o hmotnostiach m_i a m_j udáva vektor  r_ij = r_i –r_j  (obr. 2.2.1).

 

Ak smery i veľkosti r_ij (i=1,2,..., n) sa môžu ľubovoľne meniť, hovoríme o úplne voľných (neviazaných) hmotných bodoch. Ak sú všetky vzájomné vzdialenosti r_ij konštantné, danú sústavu nazývame dokonale tuhou. Existujúce telesá, skladajúce sa z molekúl, resp. z iónov, môžeme považovať za sústavu blížiacu sa k jednému z obidvoch krajných prípadov. Ako aplikáciu prvého stavu, môžeme uviesť ideálny plyn. Druhý príklad možno demonštrovať dokonale tuhou látkou. Dokonale tuhým telesom rozumieme teleso, ktorého tvar sa pôsobením vonkajších síl nemení – teleso sa nedeformuje. 

Pri skúmaní pohybu sústavy hmotných bodov je výhodné zaviesť pojem hmotný stred resp. ťažisko. (V tomto texte budeme považovať hmotný stred a ťažisko za synonymá, pretože sa obmedzíme na skúmanie telies v homogénnom poli.) Názov ťažisko, je zaužívaný v spojení s telesom. Pre sústavu n hmotných bodov  s hmotnosťami  m₁, m₂, ....., m_n , ktorých poloha je určená polohovými vektormi, r₁, r₂ , ...   , r_n. , vzhľadom na  zvolený začiatok O,  je poloha hmotného stredu definovaná vektorovou rovnicou

 

                                                                                                                 (2.2.1)

 

kde celková hmotnosť sústavy častíc m je daná súčtom hmotností jednotlivých častíc, ktoré sú identifikované indexom i. Index i nadobúda všetky celočíselné hodnoty od 1 do n .

 

                                                                                                                      (2.2.2)

 

Vo zvolenej karteziánskej súradnicovej sústave má polohový vektor r_T  hmotného stredu súradnice  r_T = [x_T , y_T, z_T], pre ktoré platí

 

                                        ,                   (2.2.3)

 

kde x_i, y_i, z_i  sú karteziánske súradnice i-teho bodu umiestneného v trojrozmernom priestore. Hmotný stred je geometrický bod. Jeho poloha vzhľadom na jednotlivé hmotné body danej sústavy nezávisí na voľbe súradnicovej  sústavy.  Nemusí byť však totožná s polohou niektorého hmotného  bodu sústavy. Hmotný stred v niektorých prípadoch môže ležať i mimo telesa  (napríklad u prsteňa).

Polohu a mechanický pohyb sústavy častíc popisujeme pohybovými rovnicami, ktoré sú sformované pre všetky materiálne objekty troch skupenstiev: tuhé, kvapalné i  plynné a s ktorými sa oboznámime v  časti 2.4 Dynamika sústavy hmotných bodov.

 Pohyb hmotného stredu, určený I. a II. vetou impulzovou, často skúmame vzhľadom na sústavu pevne spojenú s hmotným stredom, ktorú nazývame vzťažnou sústavou hmotného stredu. Vzťažná sústava hmotného stredu resp. ťažisková vzťažná sústava, je sústava, ktorej začiatok O je umiestnený do hmotného stredu sústavy hmotných bodov. Vzťažná sústava hmotného stredu je vo všeobecnosti neinerciálna vzťažná sústava. Ak sa však hmotný stred  vzhľadom na ľubovolnú inerciálnu sústavu pohybuje  konštantnou  rýchlosťou   (v_T = konšt.), je vzťažná sústava hmotného stredu  sústavou inerciálnou.

Ak skúmame sústavu hmotných bodov, ktorých hustota rozloženia vzhľadom na okolité prostredie je veľmi veľká, prechádzame k predstave o spojitom rozložení hmotnosti daného telesa. Pri spojitom rozložení hmotnosti vyjadríme hustotu telesa r  s celkovou hmotnosťou m a celkovým objemom V  vzťahom

 

 

 

odkiaľ pre element telesa dm,  pri zvážení homogénnosti telesa (r = konšt.),  platí

 

                                                                                                                   (2.2.4)

 

Pre telesá s nerovnomerne rozloženou hmotnosťou možno hmotnosť vyjadriť vzťahom

 

                                                                                                                 (2.2.5)

 

Počet nezávislých súradníc, ktoré jednoznačne určujú polohu sústavy hmotných bodov vzhľadom na vzťažný bod, je určený  počtom stupňov voľnosti sústavy hmotných bodov. Z kinematiky  hmotného bodu vieme, že na určenie polohy jedného hmotného bodu sú  potrebné tri nezávislé súradnice. Hovoríme, že  voľný hmotný bod má tri stupne voľnosti. Ak sústavu hmotných bodov tvorí n hmotných bodov, ktoré sa môžu voči sebe voľne pohybovať,  sústava má 3n stupňov voľnosti.  Ak pohyb sústavy je určitým spôsobom obmedzený, hovoríme,  že sústava je podrobená väzbám, ktoré obmedzujú počet stupňov voľnosti danej sústavy. Ak počet väzieb je v, počet stupňov voľnosti je 3n – v.

_____________________________________

Príklad 2.2.1  

Chlapec drží v rukách dva kamene o hmotnostiach m₁ a m₂  (m₁ > m₂ ),  ktoré sú vo vzdialenosti d od seba a vo výške h  nad zemským povrchom. Určite: a) súradnice ťažiska sústavy  skladajúcej sa z dvoch kameňov, b) časovú závislosť polohy ťažiska pri voľnom páde tejto sústavy súčasne,  c) časovú závislosť rýchlosti ťažiska, ak obidva kamene pustíme súčasne, d) súradnice ťažiska sústavy v  okamihu t₁  od vypustenia prvého kameňa, ak druhý kameň pustil chlapec z ruky  s časovým oneskorením D t, e) veľkosť rýchlosti  ťažiska sústavy v  okamihu t₁  od vypustenia prvého kameňa, ak druhý kameň pustil chlapec z ruky  s časovým oneskorením D t .

 

Riešenie: Na obr. sú zakreslené kamene, ktoré sme umiestnili do bodu A resp. B. Zvoľme si  súradnicovú sústavu  tak, že bod A leží na y-ovej osi, t.j. A = [0,h ] , B =  [d,h ] . Ťažisko sústavy leží medzi bodmi A a B bližšie ku kameňu  s väčšou  hmotnosťou, pričom  y-ová súradnica  sa nemení.

 

 

Súradnice  ťažiska dvojčasticovej sústavy v pokoji, sú určené rovnicami:

 

                                    

 

b) Vyjadrime si časovú závislosť súradníc jednotlivých kameňov v prípade, že chlapec púšťa obidva kamene súčasne v okamihu t₀ = 0.

 

   

                                                          

 

Pre časovú závislosť súradníc  ťažiska  platí:

 

      

 

 

c) Vyjadrime časovú závislosť rýchlosti ťažiska, ak obidva kamene chlapec pustí súčasne:

 

           

 

 

d) Určime súradnice ťažiska sústavy v  okamihu t₁  od vypustenia prvého kameňa, ak druhý kameň pustil chlapec z ruky  s časovým oneskorením D t :

Nech chlapec pustí ako prvý kameň umiestnený v polohe A. Pre jeho polohu v okamihu t₁ platí

 

                                                                        

 

Súradnice druhého  kameňa,  vypusteného o Dt neskôr po prvom kameni,  v okamihu t₁ sú:

 

 

Súradnice ťažiska v okamihu t₁

 

 

                             

e) Vyjadrime   veľkosť rýchlosti ťažiska  v okamihu t₁:

V každom časovom okamihu x-ová zložka rýchlosti ťažiska je nulová, t.j. v_xT (t₁) = 0 a platí

 

 

______________________________________