2.5.4 Práca v gravitačnom poli. Potenciálna energia

            Predpokladajme, že hmotný bod s hmotnosťou M je zdrojom gravitačného poľa. V určitom mieste poľa s  polohovým vektorom r vzhľadom na bod M nech sa nachádza iný hmotný bod s  hmotnosťou m. Vieme už, že príťažlivá sila, ktorá na tento hmotný bod pôsobí je

 

                                                                                                            (2.5.4.1)

Ak chceme hmotný bod m premiestniť z bodu 1 s polohovým vektorom r₁ do bodu 2 s polohovým vektorom r₂ (obr.2.5.4.1), musíme túto silu prekonávať silou

 

 

                                                                                                                         (2.5.4.2)

 

a vykonáme pritom prácu

    

 

                                                                                               (2.5.4.3)             

 

(r₁, r₂ a dr sú veľkosti príslušných vektorov r₁, r₂ a dr).

 

Z výsledku vidíme, že práca nezávisí od toho, po akej dráhe sa hmotný bod m  premiestnil z bodu  1 do  bodu 2. Práca je úplne  určená počiatočnou a konečnou vzdialenosťou prenášaného hmotného bodu m od  nehybného bodu M, ktorý je zdrojom poľa.

V uvažovanom prípade sme  hmotný bod m od zdroja gravitačného poľa vzďaľovali, takže prácu konala určitá vonkajšia sila  premáhaním síl  gravitačného poľa. Ak sa pohyb deje v opačnom smere, prácu koná gravitačné pole.

            Hmotný bod má teda v dôsledku existencie gravitačnej sily schopnosť konať prácu. Hovoríme, že má polohovú alebo potenciálnu energiu.

            Potenciálna energia E_p hmotného bodu s hmotnosťou m v mieste určenej polohovým vektorom r₀ v poli hmotného bodu M je teda rovná

 

                                                                                                       (2.5.4.4)

Najvhodnejšie je voliť vzťažnú polohu vo vzdialenosti nekonečne veľkej, t.j. r₀ = ¥. Potenciálna energia vzhľadom na nekonečno je potom daná  vzťahom

                                                                                                             (2.5.4.5)

            Číselne sa táto potenciálna energia  v zmysle vzťahu (2.5.4.4) rovná práci, ktorú musíme vykonať, aby sme hmotný bod m v poli  hmotného bodu M premiestnili  z daného bodu do nekonečna.

 

Kontrolné otázky k časti 2.5.4

 

1. Čomu sa  rovná práca, vykonaná pri  premiestnení  hmotného bodu m v gravitačnom  poli hmotného bodu M  z miesta s polohovým  vektorom  r₁  do miesta r₂  (polohové vektory sú vzťahované  vzhľadom na gravitačné centrum)?

2. Čo je to potenciálna energia? Voči akému miestu ju najčastejšie vzťahujeme?