4.2.4 Práca plynu pri termodynamických procesoch

            V technickej praxi sa často stretávame so situáciou, kedy plyn uzavretý v nádobe s pohyblivou stenou ( piestom ) tento piest posunie v dôsledku svojej expanzie alebo kompresie. ( Pozri obr. 4.2.1.1 a paragraf 4.2.1.) Ak plyn posunul piest, hovoríme, že vykonal prácu. Pri jednotlivých termodynamických procesoch má práca svoje špecifické vyjadrenie.

a)  Izobarická expanzia : p = konštanta.

Prácu vykonanú plynom vypočítame

 

.                                                                                  ( 4.2.4.1 )

 

Po vykonaní predpísanej integrácie

 

.

Plynom vykonaná práca sa rovná súčinu konštantného tlaku a rozdielu konečného a počiatočného objemu plynu. Práca je úmerná vyšrafovanej ploche obdĺžnika na obrázku 4.2.4.1.

 

b)  Izotermická expanzia : T₀ = konštanta.

S výpočtom práce pri izotermickom deji sme sa už stretli v paragrafe 4.2.3. Tieto poznatky môžeme rozšíriť nasledujúcim spôsobom.

Pri sledovaní plynom vykonanej práce budeme vychádzať zo vzťahu 4.2.4.1, kde tlak vyjadríme zo stavovej rovnice v tvare

  

 

a vo vzťahu vyjmeme pred integrál veličiny nemeniace sa v procese integrovania

 

.

 

Po integrácii vzťahu v predpísaných medziach

 

 .                                                                                         ( 4.2.4.2 )

 

Pri konštantnej teplote sústavy sa vnútorná energia nemení. Teplo dodané sústave sa prejaví len vo forme práce, ktorú sústava vykonala.

Veľkosť sústavou vykonanej práce za daných podmienok je úmerná vyšrafovanej ploche na obrázku č. 4.2.4.2 .

 

c)  Adiabatická expanzia : dW¢ = - dU

Ak počítame prácu vykonanú plynom pri adiabatickom deji, jej veľkosť je daná vzťahom

 

.

 

Z Poissonovho vzťahu vyjadríme tlak

 

 

 a dosadíme do poslednej rovnice

 

 .

 

Po zintegrovaní v predpísaných hraniciach

 

 .

 

Keďže Poissonovu rovnicu môžeme napísať aj v tvare

 

 ,

 

 posledný vzťah nadobudne tvar

 

 .                                  ( 4.2.4.3 )

 

Prácu vykonanú pri adiabatickej expanzii plynu môžeme vypočítať pomocou konečných a počiatočných hodnôt stavu objemu a tlaku plynu. Uplatnením stavovej rovnice v tvaroch   p₀V₀ = n RT₀   a  p₁V₁ = n RT₁   môžeme vzťah napísať v tvare

 .                                                                                   ( 4.2.4.4 )

 

Upravme teraz Mayerov vzťah

 

R = C_P - C_V = Mc_P - Mc_V = M(c_P - c_V) = M(gc_V - c_V) = - Mc_V(1 -g )

 

a dosaďme do rovnice 4.2.4.4 . Ak vyjadríme aj látkové množstvo

 

             

 

 a rovnicu upravíme, dostávame vzťah

 

 .

 

Vzťah nám hovorí, že prácu vykonanú plynom pri adiabatickej expanzii môžeme vypočítať aj pomocou rozdielu počiatočnej a konečnej hodnoty teploty a práca je konaná na úkor vnútornej energie plynu. V praxi za adiabatické deje považujeme aj deje prebiehajúce veľmi rýchlo. Tak rýchlo, že nestihla prebehnúť výmena tepla s okolím.

 

Príklad 4.2.4.1

Aká veľká práca je potrebná na stlačenie kyslíka uzavretého v nádobe s pohyblivým piestom objemu V₀ = 0,5m³ a tlaku p₀ = 10⁵ Pa na tlak p₁ = 3,5.10⁵ Pa, ak stláčanie vykonáme a) izotermicky, b) adiabaticky ?

 

Riešenie :

a)   Pri izotermickom deji je vnútorná energia konštantná a pre riešenie príkladu vyhovuje rovnica 4.2.4.2, v ktorej využijeme stavovú rovnicu  n RT₀ =   p₀V₀   a dostávame

 

 .

 

V rovnici sme vyjadrili vzťah medzi prácou vykonanou plynom a prácou vykonanou vonkajšími silami zmenou znamienka. Využitím stavovej rovnice pre konštantné veličiny n, R, T, nahradíme vo vzťahu

 

 .

Potom

.

 

Na izotermické stlačenie kyslíka v nádobe je potrebná vonkajšia práca 0,626 . 10⁵ J.

 

 

b)   Pri adiabatickom deji sa neuskutočňuje výmena tepla s okolím . Pri výpočte využijeme rovnicu 4.2.4.3 v tvare

 

 .

 

Ďalej rovnicu matematicky upravíme

 

 

 

 .

 

Pri úpravách sme využili rovnosti vyplývajúce z Poissonovej rovnice 4.2.3.5 v nasledujúcich tvaroch

 

 .

 

Číselnú hodnotu Poissonovej konštanty sme vypočítali zo známeho počtu stupňov voľnosti pre molekulárny kyslík i = 5 využitím vzťahu 4.1.14 .

 

 

Na adiabatické stlačenie kyslíka je potrebná práca 0,538 . 10⁵ J.

 

Príklad 4.2.4.2

Neznámemu plynu s hmotnosťou m = 0,2 kg sme dodali teplo, v dôsledku ktorého sa jeho teplota zvýšila zo 60 ⁰C na 95 ⁰C a svojou expanziou vykonal prácu 1817J. O aký plyn ide ?

 

Riešenie :

Zo zadania označíme t₀ = 60 ^oC, t₁ = 95 ^oC, . Plyn sa budeme snažiť identifikovať pomocou hodnoty fyzikálnej veličiny, ktorá plyn charakterizuje a je možné vyjadriť ju pomocou zadaných veličín. V našom prípade sa jedná o molárnu hmotnosť. Východzím vzťahom bude vzťah pre výpočet práce vykonanej na plyne účinkom vonkajších síl

 

 

 

Matematickou úpravou vypočítame molárnu hmotnosť

 

 .

 

Pomocou tabuliek zistíme, že v príklade sa jedná o plyn - kyslík.