Príklad 7.1.6.2

Nájdite rozdelenie častíc plynu podľa veľkosti voľnej dráhy.

Riešenie:

Nájdeme počet častíc plynu, ktoré majú voľné dráhy v rozmedzí x a (x + dx). Na dráhe s jednotkovou veľkosťou sa častica zrazí s inými časticami

krát a na dĺžke dx vykoná

zrážok. Predstavme si, že N častíc letí pozdĺž osi x. Na dráhe dx vykonajú tieto častice

zrážok. Pri každej zrážke jedna z častíc ubudne z počtu tých častíc, ktoré ešte nevykonali zrážku. Potom dôsledkom zrážok je -dN úbytok z tých častíc, ktoré letia bez zrážky. Tento úbytok sa rovná počtu zrážok, ktoré vykoná časť dN z N častíc na úseku dx

(a)

t.j. počet častíc, ktoré vykonali zrážku je priamo úmerný počtu letiacich častíc N. Z rovnice (a) dostaneme

odkiaľ po integrovaní

Konštantu c nájdeme z podmienky, že v mieste x = 0 je N₀ častíc. Po dosadení tejto podmienky do poslednej rovnice dostaneme c = ln N₀. Rovnicu môžeme napísať ako

alebo po úprave

(b)

N je počet častíc, ktoré preletia dráhu x bez zrážok. Časť z týchto častíc (ich počet sa rovná dN) sa zrazí na priľahlom úseku dx. Ich počet udáva vzťah (a). Po dosadení (b) dostaneme

(c)

Vzťah (c) predstavuje počet častíc, ktoré bez zrážok prejdú dráhu dĺžky x a zrazia sa vo vzdialenosti

x + dx od počiatku. Začiatok osi x si môžeme zvoliť ľubovoľne.

Zistíme ešte koľko častíc prejde vzdialenosť . Po dosadení do (b) dostaneme

t.j. len približne tretina častíc prejde bez zrážok túto, alebo väčšiu vzdialenosť.