6.1.4 Kmity sústavy dvoch hmotných bodov.

 

            Často sa stretávame s dvojčasticovými kmitajúcimi sústavami, v ktorých ani jednu z častíc nemôžeme považovať za nepohyblivú. Jednoduchým príkladom sú dvojatómové molekuly, napr. H2, HCl, CO, FH, atď. Predstavme si takúto sústavu pomocou pružiny a dvoch hmotností m1a m2  ako je zobrazená na obr.6.1.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Pre jednotlivé hmotnosti platia pohybové rovnice

                                                                                                  (6.1.4.1)

                                                                                                   (6.1.4.2)

kde x1 a x2 sú súradnice hmotností m1a m2 a x = x1 – x2 – l0 je predĺženie pružiny, pričom l0 je pôvodná (rovnovážna) dĺžka pružiny. Vynásobme rovnice (6.1.4.1) a (6.1.4.2) postupne hmotnosťami m2 a m1 a odčítajme ich. Dostávame rovnicu

                                                            (6.1.4.3)

ktorú môžeme upraviť do tvaru

                                                                               (6.1.4.4)

odkiaľ po využití d(x1– x2 ) = d(x + l0) = dx (pozn.: l0 je konštanta) dostávame

                                                                                                (6.1.4.5)

kde

                                                                                                    (6.1.4.6)

To je však rovnica harmonického oscilátora (viď 6.1.2.2) s hmotnosťou µr, ktorú voláme redukovaná hmotnosť. Vidíme, že kmity sústavy dvoch hmotných bodov môžeme skúmať ako kmity jednoduchého harmonického oscilátora s tou istou silovou konštantou, ale redukovanou hmotnosťou. Uhlová frekvencia kmitov takejto sústavy je

 

______________________________________

 

Príklad 6.1.5 Molekula CO kmitá s frekvenciou  f = 2.1013 s–1. Vypočítajte silovú konštantu väzby molekuly CO, keď hmotnosti atómov uhlíka a kyslíka sú mC = 1,990.10–26 kg,
m0 =2,655.10–26 kg.

 

Riešenie:

            Umiestnenie atómov kyslíka a uhlíka v súradnej sústave je znázornené na obr. 6.1.5. V stave pokoja platí : x2  – x1 =  lo,  kde lo je vzájomná vzdialenosť atómov C, O.

 

Pri kmitaní molekuly bude sila, ktorou pôsobí molekulová väzba na jednotlivé atómy závisieť od zmeny dĺžky väzby: x = x2  – x1 – lo a bude pre oba atómy čo do veľkosti rovnaká, ale opačného smeru. Návratné sily budú mať vždy smer do rovnovážnej polohy. Platia  rovnice (6.1.4.1- 6.1.4.6) uvedené v predchádzajúcom štúdiu kmitajúcej sústavy dvoch hmotných bodov. Po úpravách totožných s predchádzajúcim odvodením a zavedení redukovanej hmotnosti pre hľadanú silovú konštantu väzby molekuly CO dostaneme:

 

 

            Obr. 6.1.5