6.1.3 Energia harmonického oscilátora

Pri kmitavom pohybe dochádza k periodickým zmenám kinetickej a potenciálnej energie. Celková mechanická energia v izolovanej sústave, v ktorej pôsobí iba konzervatívna sila, musí byť konštantná. V miestach s maximálnou výchylkou je rýchlosť nulová a celková mechanická energia sa rovná potenciálnej energii, pre ktorú platí:

(6.1.3.1)

Rovnakú hodnotu celkovej energie dostaneme, ak budeme vychádzať z kinetickej energie. Pri prechode kmitajúceho hmotného bodu rovnovážnou polohou je potenciálna energia nulová a po dosadení maximálnej hodnoty rýchlosti z (6.1.2.12) do výrazu pre kinetickú energiu dostávame

(6.1.3.2)

Okamžité hodnoty kinetickej a potenciálnej energie sú vyjadrené rovnicami

(6.1.3.3)

(6.1.3.4)

Ľahko sa môžeme presvedčiť, že súčet okamžitých hodnôt kinetickej a potenciálnej energie harmonického oscilátora nezávisí na čase.

(6.1.3.5)

Celková mechanická energia netlmeného harmonického oscilátora je konštantná a je priamo úmerná silovej konštante a štvorcu amplitúdy kmitov.

______________________________________

Príklad 6.1.3

Amplitúda netlmeného harmonického pohybu hmotného bodu je A₀ = 0,02 m a celková energia kmitov E_C = 3.10^–7 J. Vypočítajte, pri akej výchylke pôsobí na hmotný bod návratná sila veľkosti F = 2,25.10^–5 N.

Riešenie:

Pre návratnú silu pri netlmenom harmonickom pohybe platí: F = – k x , kde výchylka x je daná vzťahom x = A₀ cos (w t + j), pričom platí:

.

Celková energia netlmeného harmonického pohybu je súčet kinetickej a potenciálnej energie. Pri odvodzovaní rovnice (6.1.3.5) sme si ukázali, že celková energia sa rovná E_c = ½ k A₀² . Pre konštantu návratnej sily odtiaľ dostaneme

.

Dosadením do výrazu pre návratnú silu, dostaneme pre hľadanú výchylku

Príklad 6.1.4.

Pri akej výchylke harmonického oscilátora sa bude jeho kinetická energia rovnať potenciálnej? Čomu sa rovná stredná kinetická a stredná potenciálna energia harmonického oscilátora za jednu periódu?

Riešenie:

Kinetická energia harmonického oscilátora je:

a jeho potenciálna energia je:

.

Má platiť E_k = E_p, teda

.

Riešením tejto trigonometrickej rovnice dostaneme tg (ω t + j) = 1, odkiaľ (ω t + j) = p/4 . Výchylka harmonického oscilátora je daná vzťahom: x = A₀ cos (ω t + j) . Po dosadení fázy dostaneme:

Pri takejto hodnote výchylky sa bude okamžitá kinetická energia rovnať okamžitej potenciálnej energii.

Stredná hodnota kinetickej energie je určená integrálom

a stredná hodnota potenciálnej energie za jednu periódu integrálom

Vidíme, že stredná hodnota kinetickej energie a stredná hodnota potenciálnej energie harmonického oscilátora sú rovnaké. Ich súčet sa rovná celkovej energii harmonického oscilátora.