6.1.2 Netlmený harmonický kmitavý pohyb.

 

            Uvažujme sústavu, ktorú tvorí ideálna pružina na ktorej je upevnené teleso (hmotný bod) hmotnosti m podľa obr. 6.1.1. V tejto časti a aj v nasledujúcich častiach budeme používať  termín teleso len pre názornosť, pri pohybe sa bude chovať ako hmotný bod. Budeme predpokladať, že pre deformáciu pružiny (predĺženie, alebo stlačenie) platí Hookov zákon a deformácia pružiny je priamo úmerná pôsobiacej sile. Budeme ďalej predpokladať, že podložka je ideálna a to v tom zmysle, že proti pohybu v horizontálnom smere nepôsobí žiadna sila trenia.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Nech sa teleso pri nedeformovanej pružine nachádza v počiatku súradnicovej osi . V tejto polohe na teleso v smere súradnicovej osi nebude pôsobiť žiadna sila a takúto polohu voláme rovnovážna poloha. Ak ho posunieme o vzdialenosť x, pružinu tým natiahneme a na teleso bude pôsobiť sila v opačnom smere, ako sme pružinu deformovali. Zložku tejto sily v smere osi x vyjadruje rovnica  F = – kx, kde k > 0. Takúto silu voláme návratná sila a konštanta k je silová konštanta /tiež tuhosť pružiny/. Ak teleso uvolníme, sila mu udelí zrýchlenie a potenciálna energia natiahnutej pružiny sa premení na kinetickú energiu telesa. Po prechode rovnovážnou polohou teleso začne pružinu stláčať. Kinetická energia sa premení na potenciálnu energiu stlačenej pružiny, situácia sa opakuje a teleso začne vykonávať periodický pohyb po priamke. Takáto sústava predstavuje lineárny harmonický oscilátor. Ukážeme totiž, že výchylka x z rovnovážnej polohy je harmonickou funkciou času a teda tento lineárny oscilátor je harmonický.

 

Pohybová rovnica pohybu telesa má tvar

                                                                                                   (6.1.2.1)

Prepíšme ju do tvaru

                                                                                                  (6.1.2.2)

a zaveďme substitúciu w02= k/m. Dostávame rovnicu

                                                                                                 (6.1.2.3)

Rovnica (6.1.2.3) je lineárna diferenciálna rovnica 2. poriadku.

Riešenie rovnice hľadáme v tvare

                                                                                                            (6.1.2.4)

Po dosadení a úprave dostávame charakteristickú rovnicu

                                                                                                      (6.1.2.5)

z ktorej vyplývajú komplexne združené korene l1 = iw0  a  l2 =  –iw0.  Z teórie lineárnych diferenciálnych rovníc vyplýva, že ak rovnici vyhovujú dve riešenia, riešením je aj ich lineárna kombinácia a všeobecné riešenie pohybovej rovnice pre pohyb za pôsobenia návratnej sily má  tvar

                                                                                           (6.1.2.6)

Z matematiky vieme, že C1 a C2 sú vo všeobecnosti združené komplexné čísla. Výchylka x je však reálne číslo. Využijeme eij = cosj + i.sinj a zavedieme substitúcie C1+ C2 = A0 cosj, i(C1– C2 ) = –A0 sinj.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Po vykonaní elementárnych úprav dostávame reálny tvar všeobecného riešenia pohybovej rovnice pre harmonický oscilátor

 

                                                                                         (6.1.2.7)

 

kde x predstavuje okamžitú výchylku v čase t, A0 je maximálna výchylka alebo aj amplitúda kmitov, argument (w0t + j) je fáza kmitu a j je fázová konštanta. Fázová konštanta je fáza v čase t = 0. Obidve konštanty A0 a j vyplývajú z počiatočných podmienok, ktorými sú obyčajne výchylka a rýchlosť v čase t = 0. Časový priebeh harmonického kmitania je na obr. 6.1.2.

Nájdime teraz fyzikálny význam konštanty w0. Zväčšime čas v rovnici  (6.1.2.7) o 2p/w0. Dostávame

                 (6.1.2.8)

Časový interval T0 rovný 2p /w0 je doba, za ktorú sa výchylka opakuje, teda je to perióda kmitov. Platí

                                                                                             (6.1.2.9)

Frekvencia kmitov f0 je počet kmitov za časovú jednotku

                                                                                             (6.1.2.10)

odkiaľ

                                                                                                (6.1.2.11)

Všimnite si, že frekvencia kmitania nijako nezávisí na tom, ako veľmi sme pružinu natiahli a teda aká veľká je amplitúda kmitov. Závisí len od hmotnosti kmitajúceho telesa a silovej konštanty pružiny. Veličinu w0 nazývame uhlová frekvencia (tiež kruhová frekvencia) pohybu; jej jednotka v sústave SI je radián za sekundu, fyzikálny rozmer je s–1.

Riešenie rovnice (6.1.2.2) môžeme rovnako dobre vyjadriť aj v tvare  x = A0 sin (w0t+j´). Pri daných počiatočných podmienkach sa pritom len zmení hodnota fázovej konštanty o p/2.

Vyjadrime teraz rýchlosť a zrýchlenie telesa. Pre rýchlosť dostávame

            (6.1.2.12)

 

a pre zrýchlenie

 

  (6.1.2.13)

 

Vidíme, že rýchlosť predbieha výchylku vo fáze o p/2 a zrýchlenie predbieha výchylku vo fáze o p.

            Uviedli sme už, že konštanty A0 a j pre každý konkrétny prípad harmonického pohybu môžeme určiť z počiatočných podmienok.  Objasníme si to na nasledujúcom príklade.

 

 

______________________________________

 

Príklad 6.1.1

Vypočítajte amplitúdu a fázovú konštantu netlmeného harmonického pohybu hmotného bodu po priamke, ak v čase t = 0 s má okamžitú výchylku  xo = x(0) = 0,03 m a rýchlosť vo = v(0) = 0,4 m.s–1 a frekvencia kmitov je  f0 = 1 s–1.

 

Riešenie:

            Pre okamžitú výchylku a rýchlosť v ľubovoľnom čase platí x = A cos(w0 t + j),

V čase t = 0 s dostaneme: xo = A0 cos j ,  vo = – A0 2 pf0 sinj .

Rovnice upravíme do tvaru
  

Umocnením a sčítaním rovníc dostávame pre amplitúdu  
.

Vzájomným delením týchto rovníc dostaneme

Pre fázovú konštantu j platí: j 1 = 115,2° , resp . j 2 = 295,2°.

 

 

 

Príklad 6.1.2

Teleso hmotnosti m je upevnené medzi dvoma pružinami, ktoré majú silové konštanty k1 a k2 a nachádza sa medzi nimi v rovnovážnej polohe. Vypočítajte periódu kmitov telesa, keď voľné konce pružín sú upevnené podľa obr. 6.1.3.

 

Riešenie:

            Pri vychýlení telesa z rovnovážnej polohy budú naň pôsobiť návratné sily F1 = – k1 x , F2 = – k2 x ,  kde x  je výchylka z rovnovážnej polohy. Musíme si uvedomiť, že smer síl od obidvoch pružín je rovnaký. Ak napríklad teleso vychýlime z rovnovážnej polohy do prava, pravú pružinu stláčame, ľavú naťahujeme. Výsledná sila F = – k x   sa rovná súčtu týchto síl.

 

              Obr. 6.1.3              

                     

 

F = F1 + F 2 = –  (k 1+ k2) x  ,   – k x = – (k1+ k2) x. Odtiaľ pre výslednú silovú konštantu pružín platí:  k = (k1+ k2).

Pre uhlovú frekvenciu kmitavého pohybu a pre jeho periódu dostaneme:

.