5.1.2 Hydrostatický tlak

Majme kvapalinu hustoty r v nádobe podľa obr. 5.1.2.1. Jediná objemová sila je gravitačná sila. Je orientovaná v zápornom smere osi z. Zložky intenzity tejto sily sú E_x = E_y = 0, E_z = – g. Po dosadení do rovníc ( 5.1.1.4 a-c), za použitia vzťahu f = r E, dostávame:

Vynásobme tieto rovnice postupne dx, dy, dz a sčítajme ich. Dostávame:

(5.1.2.1)

kde

je úplný diferenciál tlaku.

V rovnici (5.1.2.1) môžeme separovať premenné a integrovať ju:

(5.1.2.2)

Po integrácii potom:

Nech tlak na hladine je vonkajší atmosférický tlak p₂ = p_A a (h₂ - h₁) = h je výška kvapaliny nad daným miestom. Potom pre celkový tlak vo vnútri kvapaliny dostávame:

(5.1.2.3)

Člen r g h predstavuje hydrostatický tlak. Je to tlak, ktorý v dôsledku tiažovej sily vytvára stĺpec kvapaliny výšky h.

Ten istý výsledok získame veľmi ľahko z rovnice (5.1.1.7). Platí

potenciál homogénneho gravitačného poľa j = g h, a teda

Ak označíme p₁ = p, h₂ – h₁ = h a p₂ = p_A dostávame

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Príklad 5.1.2.1 Aká sila je potrebná na zdvihnutie priehradky (obr.5.1.2.2), ktorá je pod tlakom vody? Hmotnosť priehradky je m = 200 kg, jej šírka b = 4 m, hĺbka vody h = 2 m a faktor trenia priehradky o opory je m = 0,3.

Riešenie: Pohybová rovnica má tvar: m a = F + G + T , kde F = F j je hľadaná sila, G = mg (–j) je tiažová sila, T = m F_p (–j) je sila trenia, ktorá je úmerná tlakovej sile F_p vody na priehradku. Pri rovnomernom pohybe musí platiť:

Tlak pôsobiaci na priehradku závisí od hĺbky y podľa vzťahu: p = p_A+ r g y.

Vyjadrime najprv tlak na elementárnu plôšku dS = b dy , teda na body nachádzajúce sa v rovnakej hĺbke y pod hladinou: p = p_A+r g y – p_A (atmosférický tlak pôsobí na stenu z obidvoch strán).

Pre tlakovú silu na túto plôšku dostaneme:

Integráciou dostaneme celkovú tlakovú silu na bočnú stenu:

Celková sila potrebná na zodvihnutie priehradky bude:

Pri dvíhaní sa bude táto sila z tejto maximálnej hodnoty postupne zmenšovať, pretože sa bude zmenšovať tlaková sila.