3.2.7 Gravitačné pole Zeme

            Naša planéta Zem tiež vytvára vo svojom okolí gravitačné pole. Môžeme predpokladať, že Zem má tvar homogénnej gule s hmotnosťou Mz  6.1024 kg, s polomerom Rz = 6 378 km. Spomínali sme už, že gravitačné pole v okolí homogénnej gule je rovnaké ako v okolí hmotného bodu s rovnakou hmotnosťou, nachádzajúceho sa v strede gule.

            Pod pojmom  tiaž telesa rozumieme silu, ktorou je teleso o hmotnosti m priťahované k Zemi. Označujeme ju symbolom G a môžeme ju vyjadriť pomocou Newtonovho zákona sily aj pomocou Newtonovho gravitačného zákona. V skalárnom tvare to je

           

                   *                                                    (3.2.7.1)

kde r predstavuje vzdialenosť telesa od stredu Zeme a g je zrýchlenie telesa, ktoré mu udeľuje gravitačná sila – tzv. tiažové zrýchlenie. Ako vyplýva z uvedených vzťahov, toto zrýchlenie môžeme vyjadriť ako

 

                                                                                                    (3.2.7.2)

 

Pre povrch Zeme, kde r = Rz, je tiažové zrýchlenie rovné

 

                                                                                                    (3.2.7.3)                                                                                                                                                                                                    

a má hodnotu približne 9,81 m.s-2 (presná hodnota závisí od zemepisnej šírky).

 

Potenciálna energia telesa, kde r je vzdialenosť od silového centra, t.j. od stredu Zeme, je daná vzťahom

 

                                                                                             (3.2.7.4)

 

V praxi je však mnohokrát vhodnejšie vzťahovať ju na zemský povrch. Jednoduchým výpočtom môžeme ukázať, že pre relatívne malé výšky h nad povrchom Zeme, kde môžeme hodnotu tiažového  zrýchlenia považovať za konštantnú, sa uvedený vzťah  zjednoduší  na tvar Ep = mgh, známy z dynamiky.

 

 

Ako je  zrejmé z obr.  3.2.7.1, potenciálnu energiu v určitom bode vo výške h vzťahovanú na povrch Zeme môžeme vyjadriť ako rozdiel energií v danom bode a na zemskom povrchu (obe voči nekonečnu)

 

          (3.2.7.5)

 

Ak uvážime, že h <<Rz, dostaneme

 

                                                                                         (3.2.7.6)

 

Po aplikovaní vzťahu (3.2.7.2), podľa ktorého

 

 

dospejeme k výsledku

 

Ep = m g h .                                                                                                    (3.2.7.7)

 

 


Príklad 3.2.7.1  Aká je hodnota  tiažového zrýchlenia g vo výške h = 100 km nad povrchom Zeme?

Riešenie: Tiažové zrýchlenie g v danom mieste poľa je rovné intenzite poľa

               

                                                                                                                  (3.2.7.8)

 

Číselne pre danú výšku dostaneme

                                            (3.2.7.9)

 m.s-2

 

Vypočítaná hodnota sa líši od hodnoty zrýchlenia na povrchu Zeme menej ako o 3 %. Gravitačné pole po úroveň takýchto relatívne „malých“ výšok môžeme pokladať za homogénne, s konštantnou hodnotou intenzity (resp. zrýchlenia) 9,81 m.s-2.

 

 


Dôležitými veličinami pre každé väčšie nebeské teleso (Slnko, planéty, mesiace) sú I. a II. kozmická rýchlosť.

 

 Určíme teraz ich hodnoty pre planétu Zem:

I. kozmická rýchlosť vI je rovná rýchlosti, ktorú musíme udeliť telesu v horizontálnom smere tesne nad povrchom Zeme, aby obiehalo okolo nej po kruhovej dráhe ako umelá družica Zeme.

Animácia I. kozmická rýchlosť

 

II. kozmická rýchlosť vII predstavuje tzv. únikovú rýchlosť z povrchu Zeme. Je to minimálna rýchlosť, ktorou musíme  vrhnúť teleso zo zemského  povrchu zvislo nahor, aby natrvalo opustilo gravitačné Animácia II. kozmická rýchlosť

 

Obrázok – I. a II. kozmická rýchlosť (súhrnne).

 


Príklad 3.2.7.2: Určte výšku h nad povrchom Zeme, v akej obiehajú stacionárne družice.

Riešenie: Stacionárne družice  Zeme sú také umelé družice, ktoré obiehajú nad zemským rovníkom v smere od západu na východ, pričom doba ich obehu je  zhodná s dobou jedného otočenia Zeme okolo svojej osi, t.j. T = 24 hod.= 86400 s. Takáto družica sa potom zdá akoby „zavesená“ nad jedným miestom zemského povrchu. Stacionárne družice sú preto veľmi vhodné na telekomunikačné účely, t.j. na prenos rozhlasových a televíznych programov, medzikontinentálnych telefonických hovorov a pod.

                Pri výpočte výšky h vychádzame z rovnosti odstredivej a dostredivej,  t.j. gravitačnej sily

 

 

 

kde rýchlosť obiehania v určíme ako podiel dráhy a času pri jednom obehu

 

 

 

Po dosadení do predchádzajúceho vzťahu a vykrátení hmotnosti m na oboch stranách rovnice dostaneme

               

 

Po úprave

 

 

číselne

 

 

h = 35 900 km

 

Poznámka: Odstredivú silu môžeme vyjadriť aj pomocou uhlovej rýchlosti w. Výhodou tohto vyjadrenia je, že uhlová rýchlosť družice je rovnaká ako u bodov na zemskom povrchu. Tento spôsob riešenia prenechávame na čitateľa.

 


Kontrolné otázky

 

1.      Ktoré planéty – okrem Zeme – tvoria planetárny systém Slnečnej sústavy?

2.      Čo je to tiaž telesa? S ktorou silovou interakciou súvisí?

3.      Je tiažové zrýchlenie na povrchu Zeme totožné s gravitačným zrýchlením?(Pri zdôvodnení   vezmite do úvahy aj rotáciu Zeme okolo svojej osi).

4.      Definujte I. a II. kozmickú rýchlosť.

5.      Aký tvar bude mať dráha telesa , ktorému tesne nad povrchom Zeme udelíme   v horizontálnom smere rýchlosť (odpor vzduchu zanedbávame)

a) menšiu ako I. kozmická rýchlosť;

      b) rovnú I. kozmickej rýchlosti;

      c) väčšiu ako I. kozmická rýchlosť, ale menšiu ako II. kozmická rýchlosť (t.j. rýchlosť v intervale 7,9 až 11,2 km.s-1;)

      d) rovnú alebo väčšiu ako II. kozmická rýchlosť.

6. Čo je to stacionárna družica?

7. Pomocou gravitačnej teórie vysvetlite javy morského prílivu a odlivu.