3.2.4 Práca v gravitačnom poli. Potenciálna energia

Predpokladajme, že hmotný bod o hmotnosti M je zdrojom gravitačného poľa. V určitom mieste poľa s polohovým vektorom r vzhľadom na bod M nech sa nachádza iný hmotný bod s hmotnosťou m. Vieme už, že príťažlivá sila, ktorá na tento hmotný bod pôsobí je

(3.2.4.1)

Ak chceme hmotný bod m premiestniť z bodu 1 s polohovým vektorom r₁ do bodu 2 s polohovým vektorom r₂ (obr. 3.2.4.1), musíme túto silu prekonávať silou

(3.2.4.2)

a vykonáme pritom prácu

(3.2.4.3)

(r₁, r₂ a dr sú veľkosti príslušných vektorov r₁, r₂ a dr).

Z výsledku vidíme, že práca nezávisí od toho, po akej dráhe sa hmotný bod m premiestnil z bodu 1 do bodu 2. Práca je úplne určená počiatočnou a konečnou vzdialenosťou prenášaného hmotného bodu m od nehybného bodu M, ktorý je zdrojom poľa.

V uvažovanom prípade sme hmotný bod m od zdroja gravitačného poľa vzďaľovali, takže prácu konala určitá vonkajšia sila premáhaním síl gravitačného poľa. Ak sa pohyb deje v opačnom smere, prácu koná gravitačné pole.

Hmotný bod má teda v dôsledku existencie gravitačnej sily schopnosť konať prácu. Hovoríme, že má polohovú alebo potenciálnu energiu.

Potenciálna energia hmotného bodu s hmotnosťou m v polohe určenej polohovým vektorom r₀ v poli hmotného bodu M je teda rovná

(3.2.4.4)

Najvhodnejšie je voliť vzťažnú polohu vo vzdialenosti nekonečne veľkej, t.j. r₀ = ¥. Potenciálna energia vzhľadom na nekonečno je potom daná vzťahom

(3.2.4.5)

Číselne sa táto potenciálna energia v zmysle vzťahu (3.2.4.4) rovná práci, ktorú musíme vykonať, aby sme hmotný bod m v poli hmotného bodu M premiestnili z daného bodu do nekonečna.

Kontrolné otázky

1. Čomu sa rovná práca, vykonaná pri premiestnení hmotného bodu m v gravitačnom

poli hmotného bodu M z miesta s polohovým vektorom r₁ do miesta r₂ (polohové

vektory sú vzťahované vzhľadom na gravitačné centrum)?

2. Čo je to potenciálna energia? Voči akému miestu ju najčastejšie vzťahujeme?