3.1.4    Podmienky rovnováhy  a zákony zachovania

 

            Hovoria o podmienkach, ktoré treba splniť, aby sústava hmotných bodov v inerciálnej sústave zachovávala svoj pohybový stav. Pod pohybovým stavom sústavy hmotných bodov  (telesa) rozumieme údaje o celkovej hybnosti  H  a o celkovom momente hybnosti L sústavy hmotných bodov (telesa).

 Celková hybnosť sústavy hmotných bodov (3.1.2.8) predstavuje vektorový súčet hybností všetkých hmotných bodov sústavy a celkový moment hybnosti (3.1.3.6) vektorový súčet momentov hybnosti všetkých hmotných bodov sústavy :   

 

 

Podľa prvej pohybovej rovnice (3.1.2.10), ktorá má tvar

 

F = (dH / dt),

 

hybnosť sústavy sa nemení, ak výsledná vonkajšia sila pôsobiaca na sústavu sa rovná nule. Preto rovnosť   

 

 F  =  0                                                                                                         (3.1.4.1)

 

je prvou podmienkou rovnováhy sústavy hmotných bodov (telesa). Rovnica  (3.1.4.1) definuje izolovanú sústavu hmotných bodov, t.j. sústavu na ktorú nepôsobia vonkajšie sily, t.j. súčet všetkých vonkajších síl sa rovná nule.

 

Podľa druhej pohybovej rovnice (3.1.3.7), ktorá má tvar

 

M = (dL / dt),

 

moment hybnosti sústavy hmotných bodov (telesa) sa nemení, ak výsledný moment vonkajších síl pôsobiacich na sústavu sa rovná nule. Rovnosť  

 

M  =  0                                                                                                           (3.1.4.2)

 

je druhou podmienkou rovnováhy sústavy hmotných bodov (telesa).

Pri splnení oboch podmienok rovnováhy, sústava hmotných bodov (teleso) zachováva svoju hybnosť a moment hybnosti (zjednodušene dá sa povedať že zachováva rýchlosť a uhlovú rýchlosť otáčania), čo formulujú nasledovné zákony:

 

1/  Zákon zachovania hybnosti:

Ak hmotnosť sústavy sa nemení a  výslednica všetkých vonkajších  síl pôsobiacich na sústavu je nulová (F = 0),  celková hybnosť  izolovanej sústavy hmotných bodov ostáva konštantná, t.j. platí

 

    D H = 0   Þ   H1 = H2   ,                                                                          (3.1.4.3 )

 

kde  H1  je hybnosť sústavy v časovom okamihu t1  ( napr. na začiatku skúmania sústavy hmotných bodov)  a H2  je hybnosť sústavy hmotných bodov v časovom okamihu t2 ( napr. v okamihu  skončenia  skúmania sústavy).  

Rovnica (3.1.4.3) je vektorová rovnica, ktorá je ekvivalentná trom skalárnym rovniciam. V istých prípadoch, podľa silového pôsobenia na sústavu hmotných bodov, môžu nastať prípady, kedy sa zachováva jedna,  alebo dve zložky celkovej hybnosti. V prípade, že len niektorá zo zložiek výslednice vonkajších síl pôsobiacich na sústavu hmotných bodov je rovná nule, potom sa odpovedajúca zložka celkovej hybnosti sústavy hmotných bodov zachováva. Ako príklad  môžeme uviesť skúmanie pohybu letiaceho kameňa v gravitačnom poli Zeme. Ak zanedbávame odpor prostredia, jedinou pôsobiacou silou na kameň je tiažová sila G = mg, ktorá smeruje zvisle nadol (g = [0,-g,0]). Zvislá zložka hybnosti letiaceho kameňa Hy sa bude meniť, kým zložky Hx a Hz zostávajú konštantné.

 

2/  Zákon zachovania momentu hybnosti:

 

Ak hmotnosť sústavy sa nemení a  výslednica všetkých vonkajších  síl pôsobiacich na sústavu je nulová (F = 0) , celkový moment hybnosti izolovanej sústavy hmotných bodov ostáva konštantný, t.j. platí

 

  D L= 0   Þ    L1 = L2,  ,                                                                                 (3.1.4.4 )

 

kde  L1  je moment hybnosti  sústavy v ľubovolnom  časovom okamihu  t1 a L2  je moment hybnosti  sústavy hmotných bodov v časovom okamihu t2 .

                                                                                                           

Overenie platnosti zákona zachovania momentu hybnosti možno uskutočniť ako pre dve telesá, tak i pre  izolovaný systém hmotných bodov. Prvý príklad možno demonštrovať s chlapcom  sediacim na stoličke s otáčajúcim sa sedadlom, ktorý  drží  činky v úplne roztiahnutých rukách.  Nech  sediaceho chlapca niekto uvedie do pomalého otáčavého pohybu. V prípade, že chlapec nehybne sedí na stoličke, otáčajúca sa stolička v dôsledku trenia  bude zmenšovať svoju rýchlosť otáčania sa, až  kým  sa nezastaví.  Stane sa nejaká zmena  v tomto pohybe,  ak chlapec rýchlo pritiahne činky k hrudi  a opätovne ich roztiahne?  Ak v otáčajúcom sa systéme chlapec rýchlo pritiahne ruky s činkami na prsia, zistí, že jeho rýchlosť otáčania sa  zväčšuje. Ak ich roztiahne pohyb sa spomaľuje. Kým sa stolička trením nezastaví, môže chlapec týmto spôsobom niekoľkokrát meniť svoju rýchlosť otáčania.

Zväčšenie rýchlosti otáčania súvisí so zmenšením vzdialenosti činiek  od osi otáčania. Na rovnakom princípe sú založené pohyby akrobatov alebo baletky, ktorá sa rýchlo otáča.   Obvykle dostáva baletka začiatočný moment impulzu od svojho partnera. Vtedy je telo baletky naklonené, začína sa pomalé otáčanie, potom nasleduje prekrásny a rýchly pohyb – baletka sa narovnala. V tejto polohe sú všetky časti tela bližšie k rotačnej osi  a zákon zachovania momentu hybnosti spôsobí prudké zvýšenie rýchlosti otáčania.

         Zmenu celkového momentu hybnosti uzavretej sústavy možno dosiahnuť len pôsobením vonkajších síl. Pôsobením vnútorných síl môžeme dosiahnuť len  zmenu hybnosti jednotlivých bodov (častíc) sústavy, avšak nie  zmenu celkovej hybnosti sústavy.

 

 Sústava hmotných bodov pri splnení oboch podmienok rovnováhy v inerciálnej sústave nemusí byť v pokoji. Preto sa v takomto prípade  hovorí o dynamickej rovnováhe  sústavy hmotných bodov (telesa). V dynamickej rovnováhe je parašutista s padákom, ktorý klesá konštantnou rýchlosťou, alebo elektromotor, ktorý sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou. Popri dynamickej rovnováhe sa najmä v strojárstve a stavebníctve hovorí o statickej rovnováhe , ktorá navyše vyžaduje, aby teleso v danej vzťažnej sústave bolo v pokoji. Aj v tomto prípade nevyhnutnými podmienkami rovnováhy telies sú rovnice  (3.1.4.1)  a (3.1.4.2). Pri posudzovaní situácie, či sústava hmotných bodov  môže byť v rovnováhe, treba obyčajne nájsť výslednú silu a výsledný moment síl, ktoré pôsobia na sústavu.

 

 

3/ Zákon zachovania  energie sústavy častíc

 

Uvažujme sústavu hmotných bodov (ďalej len systém), na ktorú pôsobia vonkajšie i vnútorné sily. Definujme  vnútornú energiu U  systému súčtom celkovej kinetickej energie sústavy  n-hmotných bodov  a celkovej vnútornej potenciálnej energie sústavy n-hmotných bodov vzťahom

 

,                                                                         (3.1.4.5 )                                 

 

kde sme vnútornú energiu všetkých dvojíc hmotných bodov sústavy vyjadrili cez prácu vnútorných síl

 

   .                                                                                      (3.1.4.6)                                       

 

Definujem celkovú energiu systému E  vzťahom

 

E = U + Ep,ext  ,                                                                                             (3.1.4.7 )                                      

 

kde U je vnútorná energia systému,  definovaná rovnicou (3.1.4.5 ) a Ep,ext   je potenciálna energia systému súvisiaca s pôsobením  vonkajších síl na systém určená rovnicou (3.1.4.6).                                      

 Z prírodných zákonov je známe, a tiež je možné matematicky odvodiť rovnicu

 

,                                                                                        (3.1.4.8)

 

ktorá znamená:

Zmena celkovej kinetickej energie systému hmotných bodov sa rovná práci vonkajších síl pôsobiacich na sústavu a práci vnútorných síl pôsobiacich v sústave hmotných bodov.  

 

Poznámka:  Horné indexy sú odvodene od začiatočných písmen anglických slov: internal - vnútorný a external – vonkajší.

 

Vnútorné sily pôsobiace v sústave hmotných bodov sú konzervatívne, preto ich prácu môžeme,  na základe vzťahu (2.2.5.9),  vyjadriť ako pokles  vnútornej potenciálnej energie systému , čím rovnicu (3.1.4.8 )  upravíme na tvar                                                      

 

   Þ DEK +DEp  =    D(Ek + Ep )    = Wext  ,        (3.1.4.9)                                                                                                                                                                                                          

 

alebo, na  základe rovnice (3.1.4.5 ),   na tvar

 

 D U = Wext .                                                                                                                                            (3.1.4.10)                                                                                                                                                                                                                                                                                  

 

Slovná formulácia rovnice  (3.1.4.10) sa nazýva zákon zachovania mechanickej energie :

Zmena vnútornej energie sústavy hmotných bodov  sa rovná práci, ktorú konajú na systém pôsobiace vonkajšie sily.

Skúsenosť ukazuje, že zákon zachovania mechanickej energie platí všeobecne, teda nielen pre konzervatívne sily. Ak v systéme prebiehajú okrem mechanických dejov aj tepelné, zákon zachovania energie vyjadruje prvá veta termodynamická.

Z rovnice (3.1.4.7)   pre izolovanú sústavu hmotných bodov, ( Wex= 0 ), vyplýva, že vnútorná energia systému je konštantná.

Ak na sústavu pôsobia konzervatívne sily (vonkajšie aj vnútorné) celková energia systému zostáva  konštantná.

__________________________   

 

Kontrolné otázky

 

1.      Vyslovte zákon zachovania hybnosti pre  izolovanú sústavu hmotných bodov.

2.      Uveďte príklad, kde sa aplikuje zákon zachovania hybnosti.

3.      Akým spôsobom je možné pohnúť sa na  dokonale hladkom ľade?

4.      Aký pohyb musí konať  krasokorčuliarka pri piruete? Na základe akého fyzikálneho zákona vysvetlíte zmenu jej uhlovej rýchlosti?

5.      Vyslovte podmienky rovnováhy sústavy hmotných bodov.

6.      Kedy hovoríme o dynamickej rovnováhe?

7.      Vysvetlite pojem statickej rovnováhy.

8.      Ako definujeme vnútornú energiu sústavy hmotných bodov (častíc)?

9.      Definujte celkovú kinetickú energiu sústavy hmotných bodov.

10.  Definujte celkovú potenciálnu energiu sústavy hmotných bodov.

11.  Vyslovte a matematicky formulujte zákon zachovania mechanickej energie.

12.  Ako môžeme vyjadriť zmenu kinetickej energie sústavy hmotných bodov za účinku vonkajších síl?

13.  Vysvetlite pojem „konzervatívne sily“.

14.  Aká skutočnosť platí pre celkovú energiu  sústavy hmotných častíc nachádzajúcich sa pod vplyvom konzervatívnych síl?

15.  Ako definujeme izolovanú sústavu?