3.1.3    Druhá pohybová rovnica

           

Sústava hmotných bodov vo všeobecnom prípade môže konať i rotačný pohyb. Pri skúmaní rotačného pohybu, obdobne ako pri hmotnom bode, vystupujú veličiny moment sily a moment hybnosti  sústavy  hmotných bodov, ktoré si zadefinujeme. 

 

3.1.3.1 Moment sily  sústavy častíc

Ak na teleso pôsobí vonkajšia sila, z hľadiska jeho otáčania je dôležité, v ktorom bode na teleso pôsobí. Preto sa zavádza veličina moment sily  (M) vzhľadom na určitý vzťažný bod, definovaný rovnicou (2.2.3.7), ako vektorový súčin polohového vektora pôsobiska sily a pôsobiacej sily : 

 

M = r x f                                             

 

Poznámka:  Vektor momentu sily sa v slovenskej fyzikálnej literatúre často označuje písmenom D .  

 

  

 

V ľavej časti obrázku 3.1.3.1 je znázornené teleso s tromi alternatívnymi bodmi pôsobenia rovnakej sily.  Ak sila pôsobí v bode na ľavej strane, začne ho (popri posúvaní) otáčať v smere pohybu hodinových ručičiek, pri pôsobení na druhej strane opačným smerom.  Ak sila pôsobí priamo v ťažisku, začne teleso iba posúvať.  V pravej časti obrázku je schematicky nakreslený prevod bicykla, pri ktorom krútiaci účinok sily závisí  od vzájomného uhla polohového vektora  r  a pôsobiacej  sily  f .  Moment sily zavedený vzorcom (2.2.3.7)   zohľadňuje uvedené skutočnosti, lebo pre jeho veľkosť platí

 

M = rf sin a  ,                                                                                               (3.1.3.1)

 

čiže vo vzorci vystupuje aj uhol medzi polohovým vektorom a vektorom sily. Ak je uhol medzi vektormi nulový, alebo = 180 0 , moment sily je nulový. Zodpovedá to prípadu bicyklového pedálu  hornej, alebo dolnej úvrati, kedy zvislé pôsobenie silou na pedál neprináša úžitok.

 

Poznámka  Vektor momentu sily pôsobiacej v istom bode telesa závisí od voľby vzťažného bodu. Zmenou vzťažného bodu sa môže zmeniť ako jeho veľkosť, tak aj smer momentu sily.

 

            V prípade sústavy hmotných bodov, ak na každý pôsobí sila  fk  , zavádza sa výsledný moment síl  M vektorovým súčtom jednotlivých momentov síl Mi

                                                                                                   (3.1.3.2)

           

Špeciálnym prípadom je dvojica síl , pod čím rozumieme dve sily rovnako veľké opačného smeru, neležiace v jednej priamke. Pre sily patriace do dvojice preto platí  f 2 = - f1  a pre moment dvojice síl :

 

M  =  M1  +  M 2  = (r1 x f1)  + (r2 x f2) = (r1 x f1)  - (r2 x f1)  = (r1  - r2 ) x f1   ,

 

takže

 

M  = (r1  - r2 ) x f1                                                                                         (3.1.3.3)

 

 

Výsledok ukazuje, že vektor reprezentujúci moment dvojice síl nezávisí od voľby vzťažnej sústavy, lebo vo výsledku vystupuje rozdiel  polohových vektorov (r1  - r2 ) , ktorý je rovnaký v každej vzťažnej sústave.

 

3.1.3.2 Moment hybnosti  sústavy častíc

Na opis dynamiky otáčavého pohybu sústavy hmotných bodov a  telies sa používa moment hybnosti  (L) , ktorý  definujme obdobným spôsobom ako bol definovaný moment hybnosti i -tej častice (vzťah 2.2.3.6) vzhľadom na vzťažný bod O, t.j.  ako vektorový súčin polohového vektora hmotného bodu a vektora hybnosti hmotného bodu : 

 

                                                                                (3.1.3.4)                                                                   

 

kde ri je polohový vektor i -tej častice s hmotnosťou mi vzhľadom na zvolený vzťažný bod, Hi je hybnosť i -tej častice pohybujúcej sa rýchlosťou vi. Veľkosť a smer vektora momentu hybnosti pohybujúcej sa častice závisí od voľby vzťažného bodu, podobne ako moment sily. Na obrázku obr. 3.1.3.3 sú znázornené dve vzťažné sústavy. Polohový vektor začínajúci v začiatku sústavy

nakreslenej vľavo, zviera s vektorom hybnosti nulový uhol, preto moment hybnosti vzhľadom na túto sústavu je nulový.

 

 

Deriváciou vzťahu (3.1.3.4) dostaneme vzťah medzi momentom hybnosti a momentom sily

 

,

 

čiže pre i -tu časticu platí rovnica (2.2.3.8)

 

.                                                                                                     (3.1.3.5)

 

Rovnicu (3.1.3.5)   možno vysloviť: Moment na i -tu časticu pôsobiacej sily sa rovná zmene jej momentu hybnosti za jednotku času. Obidva momenty (sily a hybnosti) vzťahujeme na ľubovolný, avšak pre obidva momenty  ten istý vzťažný bod v inerciálnej sústave. Celkový moment hybnosti sústavy častíc L  je definovaný  ako vektorový súčet momentov hybnosti  jednotlivých častíc, t.j.

.                                                                                                     (3.1.3.6)

 

Pre výsledný moment síl pôsobiacich na sústavu častíc,  definovaný vzťahom (3.1.3.2),  vzhľadom na zvolený vzťažný bod,   po využití rovnice (3.1.3.6) , dostávame                                                                              

                                                            

 

 

.                                                                                                      (3.1.3.7)

 

Porovnaním rovníc (2.2.3.8) a (3.1.3.7) vidíme, že aj v tomto prípade platí medzi momentom sily hmotného bodu  a vektorovým súčtom momentov síl pôsobiacich na hmotné body sústavy rovnaký vzťah. Rovnica (3.1.3.7)  predstavuje druhú pohybovú rovnicu pre sústavu hmotných bodov (častíc).

Integráciou druhej pohybovej rovnice dostaneme druhú impulzovú vetu pre sústavu hmotných bodov :

 

                         (3.1.3.8)

 

Jej slovná formulácia :

"Impulz momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich  na sústavu hmotných bodov sa rovná  zmene momentu hybnosti sústavy".