3.1.2 Dynamika sústavy hmotných bodov - Prvá pohybová rovnica

Sily, ktoré pôsobia na sústavu hmotných bodov (častíc) možno rozdeliť na sily vonkajšie a vnútorné. Pod vonkajšími silami budeme rozumieť sily, ktoré majú príčinu v pôsobení okolitých telies, ktoré do sústavy hmotných bodov nepatria, ale pôsobia na jednotlivé častice sústavy ( i = 1, ..., n) . Výslednicu vonkajších síl pôsobiacich na i-tu časticu označme F_i .

Sily vnútorné majú podstatu vo vzájomnom pôsobení jednotlivých častíc sústavy. Charakterizujú interakcie medzi jednotlivými časticami vo vnútri sústavy. Označme symbolom f_ij tú vnútornú silu, ktorou pôsobí j-ta častica na i-tu časticu a symbolom F_vi výslednicu všetkých vnútorných síl pôsobiacich na i-tu časticu od okolitých častíc. F_vi bude určená vzťahom

(3.1.2.1)

Celková sila pôsobiaca na i-tu častica F_ci je súčtom celkovej vonkajšej sily a celkovej vnútornej sily pôsobiacej na i-tu časticu, t.j.

(3.1.2.2)

Podľa druhého Newtonovho princípu platí rovnica

(3.1.2.3)

v ktorej a _i je zrýchlenie i - teho hmotného bodu, ktorým sa pohybuje pod vplyvom vonkajších aj vnútorných síl, pričom sumáciu treba vykonať cez všetkých n hmotných bodov sústavy. Takáto rovnica platí pre každý z n hmotných bodov sústavy. Zaujímavé výsledky získame, ak tieto rovnice sčítame :

(3.1.2.4)

V dvojitej sumácii vystupujú sily - akcia a reakcia medzi ľubovoľnou dvojicou hmotných bodov. Preto dvojitá sumácia sa rovná nule, lebo podľa zákona akcie a reakcie f _ij = -f _ji . Rovnica (3.1.2.4) sa takto zjednoduší, nevystupujú v nej vnútorné sily :

(3.1.2.5)

pričom súčet vonkajších síl pôsobiacich na sústavu sme označili písmenom F . Rovnicu (3.1.2.5) možno interpretovať nasledovne: Zmenu pohybového stavu sústavy hmotných bodov (častíc) spôsobuje sila F, ktorá sa rovná vektorovému súčtu vonkajších síl pôsobiacich na sústavu.

Rovnicu (3.1.2.5) možno za určitých podmienok ďalej upravovať. Treba pritom rozlíšiť, o aký druh pohybu sústavy ide. Ak všetky hmotné body sústavy majú v ľubovoľnom časovom okamihu rovnaké rýchlosti, t.j. platí v_i = v pre i = 1, ... n , potom aj a_i = a . Takýto pohyb nazývame translačný , lebo pri ňom sa teleso v danej (inerciálnej) sústave premiestňuje bez otáčania obr. (3.1.2.1) . Vtedy možno rovnicu (3.1.2.5) ďalej zjednodušiť : na ľavej strane zrýchlenie vyňať pred sumačné znamienko, za ktorým zostane súčet hmotností

hmotných bodov sústavy, ktorý sme v rovnici (3.1. 1.4) označili M. Keď aj namiesto súčtu vonkajších síl budeme písať F , rovnica prejde do jednoduchého tvaru

M a = F. (3.1.2.6)

Rovnica (3.1.2.6) je pohybová rovnica sústavy hmotných bodov pri translačnom pohybe.

Ak pohyb nie je translačný, treba pri odvodení pohybovej rovnice využiť definíciu hmotného stredu sústavy. Využijeme rovnicu (3.1.1.3)

ktorú budeme dvakrát derivovať podľa času :

pričom sme využili rovnosť (3.1.2.5). Druhá derivácia polohového vektora hmotného stredu na ľavej strane rovnice predstavuje zrýchlenie hmotného stredu a_T , takže výsledok možno napísať v

(3.1.2.7)

Odvodená rovnica predstavuje vetu o pohybe hmotného stredu (ťažiska) , ktorú môžeme slovne takto formulovať :

"Ťažisko sústavy hmotných bodov sa pohybuje tak, ako by v ňom bola sústredená hmotnosť celej sústavy a pôsobila naň výslednica všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu".

Dôsledkom tejto vety je i skutočnosť:

Ak sa výsledná sila pôsobiaca na sústavu rovná nule, hmotný stred sústavy hmotných bodov zotrváva v pokoji , alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe.

Pohybová rovnica (3.1.2.5), ktorá platí pre ľubovoľný pohyb sústavy hmotných bodov, sa upravuje tak aby v nej vystupovala hybnosť sústavy hmotných bodov, čím sa rozumie vektorový súčet hybností jednotlivých bodov sústavy (H = H₁ + H₂ + .... + H_n ) :

(3.1.2.8)

Tak sme dostali významnú rovnicu (3.1.2.8), ktorá sa nazýva prvá pohybová rovnica pre sústavu hmotných bodov. Jej slovná formulácia hovorí, že:

súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu hmotných bodov sa rovná derivácii hybnosti sústavy .

Integráciou tejto pohybovej rovnice získame prvú impulzovú vetu :

(3.1.2.9)

ktorá hovorí, že impulz vonkajšej sily pôsobiaci na sústavu hmotných bodov sa rovná zmene hybnosti sústavy. Táto veta je formálne, ale aj obsahom v priamom vzťahu so vzorcom (2.2.3.5) paragrafu o impulze a hybnosti hmotného bodu.

Ak výslednica všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu je nulová (F = 0), hovoríme, že sústava je izolovaná. V tomto prípade rovnica (3.1.2.9) prejde na tvar

D H = 0 Þ H₁ = H₂ , (3.1.2.10 )

ktorá vyjadruje zákon zachovania celkovej hybnosti izolovanej sústavy hmotných bodov a možno ju vysloviť:

Zmena celkovej hybnosti izolovanej sústavy hmotných bodov je nulová, hybnosť izolovanej sústavy sa nemení.

Poznámka Ak výsledná sila pôsobiaca na sústavu (t.j. súčet všetkých vonkajších síl) sa rovná nule, to ešte neznamená, že sa nemôžu meniť hybnosti jednotlivých hmotných bodov sústavy. Môžu sa meniť pod účinkom vnútorných, ale aj vonkajších síl tak, aby vektorový súčet ich zmien bol nulový. Ako príklad môže poslúžiť výbuch pokojne ležiaceho granátu. Ak je granát v našej inerciálnej sústave v pokoji, výslednica vonkajších síl sa rovná nule. Pri výbuchu sa uplatnia vnútorné sily, časti granátu sa rozletia, ale ťažisko celej sústavy naďalej zostáva v pokoji.

_____________________________-

Príklad 3.1.2.1 Na pokojnej hladine jazera sa nachádza v pokoji loďka s hmotnosťou M , na jej jednom konci stojí plavčík s hmotnosťou m . Plavčík sa začne pohybovať vzhľadom na loďku rýchlosťou u . Vypočítajte rýchlosť plavčíka v a rýchlosť loďky w vzhľadom na breh. Predpokladajte, že loďka sa po hladine pohybuje bez trenia.

Riešenie Loďku s plavčíkom považujeme za sústavu pozostávajúcu z dvoch častí. Loďka s plavčíkom sú na začiatku vzhľadom na breh v pokoji, teda výsledná vonkajšia sila pôsobiaca na sústavu sa rovná nule. Keď plavčík začne kráčať, začnú v sústave pôsobiť vnútorné sily medzi plavčíkom a loďkou, nie však vonkajšie sily. Preto sa hybnosť sústavy ako celku nemôže zmeniť, vzhľadom na breh musí zostať nulová. Plavčík aj loďka však vzhľadom na breh nadobudnú hybnosti m v , resp M w, ktorých vektorový súčet sa musí rovnať nule, takže m v + M w = 0. Ak má platiť takýto vzťah, vektory v a w musia mať opačný smer, preto v = v j a w = - w j . Po dosadení do rovnice a jej skalárnom súčine s vektorom j dostaneme m v - M w = 0 Þ v /w = M /m . Medzi rýchlosťami u, v , w platí vzťah v = u + w , ktorý vyplýva zo vzorca pre rýchlosť pri zloženom pohybe (vzorec 2.1.10.5), keď jednu vzťažnú sústavu viažeme na breh a druhú na loďku . Po skalárnom súčine tejto rovnice s jednotkovým vektorom j dostaneme skalárnu rovnicu v = u - w pre veľkosti rýchlostí. Túto rovnicu spojíme so skalárnou rovnicou pre hybnosti, čím dostaneme rovnicu Mw = m(u - w), z ktorej vypočítame w = mu / (m + M) a po dosadení do vzťahu medzi rýchlosťami aj v = Mu / (M + m) .

_______________________________

Príklad 3.1.2.2 Na pokojnej hladine jazera sa nachádza v pokoji loďka s hmotnosťou M a dĺžkou L, na jej jednom konci stojí plavčík s hmotnosťou m . Vypočítajte o koľko sa posunie ťažisko loďky vzhľadom na breh, ak plavčík prejde na druhý koniec loďky.

Riešenie: Loďka a plavčík sú na začiatku v pokoji, preto v pokoji je aj ich ťažisko vzhľadom na vzťažnú sústavu viazanú na breh. Nulové je aj zrýchlenie ťažiska, čo podľa vety o ťažisku znamená, že nulová je aj vonkajšia sila, ktorá na sústavu loď - plavčík pôsobí. Keď sa plavčík začne pohybovať, začnú v sústave pôsobiť vnútorné sily, vonkajšia zostáva nulová. Preto zrýchlenie ťažiska sústavy bude naďalej nulové, ťažisko nezmení svoju polohu. Na obrázku 3.2.1.3 sú vyznačené začiatočné súradnice plavčíka y_P , stredu (ťažiska) loďky y_L a ťažiska sústavy y_T a súradnice po presunutí plavčíka, označené pre ľahšie rozlíšenie písmenami z . Na začiatku pre súradnicu ťažiska sústavy platí

y_T = (my_P + My_L) / (m + M ) .

Výpočet si zjednodušíme, ak začiatok na súradnicovej osi zvolíme tak, aby y_P = 0 . Potom sa zjednoduší aj vyjadrenie polohy stredu loďky : y_L = L / 2 , takže

y_T = M (L /2) / (m + M ) .

Po presunutí plavčíka z_P = z_L + L /2 , takže

z_T = (mz_P + Mz_L) / (m + M ) = [m(z_L + L /2) + Mz_L ] /(m + M ) .

Teraz využijeme podmienku z_T = y_T , dosadíme na ľavú stranu rovnice, čím vznikne rovnica

[m(z_L + L /2) + Mz_L ] = M (L /2) ,

v ktorej jedinou neznámou hodnotou je z_L , pre ktorú dostaneme výsledok

z_L = [(M - m)(L /2)] / ( m + M ) .

Rozdiel y_L - z_L predstavuje hľadané posunutie ťažiska loďky.

_____________________________________

Príklad 3.1.2.3 Na skyborde o hmotnosti m, ktorý sa pohybuje konštantnou rýchlosťou v₀ stojí dievča o hmotnosti m₁ a v  ruke drží sklenenú guľu s hmotnosťou m_2.. _. Sklenená guľa sa náhle roztrhne na dve časti, pričom časť gule s hmotnosťou m₂₁ odletela rýchlosťou v₂₁ opačným smerom ako pohybujúci sa skybord, Druhá časť gule s hmotnosťou m₂₂ sa pohybovala rýchlosťou v₂₂ v smere zvierajúcim s pohybujúcim sa skybordom uhol a. Dievča v okamžiku roztrhnutia gule od ľaku zoskočí zo skybordu v opačnom smere pôvodného pohybu skybordu rýchlosťou v₂. Určite rýchlosť v₁ prázdneho skybordu_{, ,} ktorou sa pohyboval v okamžiku roztrhnutia gule.

Riešenie: Sústava častíc, ktorú skúmame sa skladá na začiatku skúmania zo skybordu, na ktorom sa vezie dievča s guľou. Označme hybnosť tejto sústavy H_1. Po roztrhnutí gule sústava sa skladá z pohybujúceho sa dievčaťa s hybnosťou H_, pohybujúceho sa vozíka s hybnosťou H₂ a pohybujúcich sa dvoch častí gule s hybnosťami H₂₁ a H_22. Ak zanedbáme silu trenie skybordu a odporu vzduchu, na každú časť sústavy pôsobí len tiažová sila. Keďže tiažová sila má zvislý smer, neprispieva k zmene vodorovnej zložky celkovej hybnosti sústavy. Vodorovná (x -ová) zložka hybnosti sústavy sa zachováva a platí pre ňu zákon zachovania hybnosti, t.j. vodorovná zložka hybnosti sústavy pred roztrhnutím gule sa rovná vodorovnej zložke hybnosti sústave v okamžiku roztrhnutia gule. Matematické vyjadrenie zákona zachovania hybnosti v súradnicovej sústave s kladnou osou x v smere pohybu skybordu pred roztrhnutím gule je dané rovnicou

H_1x= H_x + H_2x+ H_21x + H_{2x ,} (1)

Po dosadení x-vých zložiek jednotlivých rýchlostí pred roztrhnutím : v₀ = [ v₀, 0 ] a po roztrhnutí:

v ₁ = [ v₁, 0 ] , v ₂₁ = [- v ₂₁, 0 ], v ₂₂ = [ v ₂₂ cos a _, v ₂₂ sin a ], v ₂ = [- v ₂,, 0 ] do rovnice (1) dostaneme

odkiaľ vyjadríme rýchlosť prázdneho skybordu v₁

_____________________________________

Kontrolné otázky

1. Definujte hybnosť sústavy hmotných bodov a vyjadrite ju v matematickom tvare.

2. Definujte a zapíšte výslednicu všetkých síl pôsobiacich na sústavu hmotných bodov. Význam jednotlivých členov vysvetlite.

3. Napíšte pohybovú rovnicu pre sústavu hmotných bodov, ktorej všetky body konajú translačný pohyb.

4. Vyslovte a zapíšte vetu o pohybe ťažiska.

5. Kedy hmotný stred sústavy hmotných bodov koná rovnomerný priamočiary pohyb?

6. Vyslovte a matematicky formulujte prvú pohybovú rovnicu pre sústavu hmotných bodov.

7. Vyslovte a zapíšte I. vetu impulzovú pre sústavu hmotných bodov.

8. Vyslovte zákon zachovania hybnosti pre izolovanú sústavu hmotných bodov.

9. Uveďte príklad, kde sa aplikuje zákon zachovania hybnosti.

10. Akým spôsobom je možné pohnúť sa na  dokonale hladkom ľade?

11. Z platnosti akého zákona sme vychádzali v príklade 3.1.2.3 .

12. Prečo sme v príklade 3.1.2.3 formulovali zákon zachovania hybnosti len pre x - ovú zložku celkovej hybnosti sústavy?

13. Možno aplikovať zákon zachovania hybnosti v príklade 3.1.2.3 aj na y - ovú zložku celkovej hybnosti sústavy? Svoju odpoveď zdôvodnite.