2.2.6    Zákon zachovania energie

 

            Ak na mechanickú sústavu nepôsobia vonkajšie sily a teda podľa zákona o akcii a reakcii ani sústava nepôsobí silami na okolité telesá, sústave sa nedodáva, ani z nej neodoberá práca. Preto sa energia sústavy nemení. Túto skutočnosť vyjadrujeme formuláciou - energia izolovanej sústavy sa nemení. Je to formulácia zákona zachovania energie mechanickej sústavy.

Tento zákon možno formulovať aj matematicky. Na tento účel použijeme príklad z pohybu častice v gravitačnom poli Zeme.

            Gravitačná sila pôsobiaca na časticu koná prácu na úkor potenciálnej energie častice, pričom aj zo skúsenosti vieme, že zväčšuje jej rýchlosť, teda kinetickú energiu častice. Sústavu  Zem - častica považujeme za izolovanú, preto jej celková energia sa zachováva. Vzájomnou príťažlivosťou Zeme a častice sa obe telesá začnú k sebe približovať, pravda pohyb Zeme v porovnaní s pohybom častice je zanedbateľný (pozri príklad 2.2.6.3). Preto zákon zachovania energie v tomto prípade formulujeme tak, ako by sa týkal iba častice : úbytok potenciálnej energie častice v gravitačnom poli Zeme sa rovná prírastku kinetickej energie častice. Preto vzťah  (2.2.5.9)  môžeme zapísať v tvare :  

 

fy dy  = - dEp = +dEk  ,                       

 

odkiaľ vyplýva 

 

dEk + dEp  =  0        Þ                   d (Ek + Ep)  =  0       Þ  

 

   

                       

Súčet kinetickej a potenciálnej energie častice sa s časom nemení. To znamená, že ak v časovom okamihu  t1  má častica energie  Ek1  a  Ep1  ,  a v časovom okamihu    t2  energie  Ek2  a  Ep2  , potom platí rovnosť

 

 Ek1  +  Ep1  =  Ek2  +  Ep2                                                                              (2.2.6.2)

_____________________________

 

Príklad  2.2.6.1  Pomocou zákona zachovania mechanickej energie vypočítajte, akou rýchlosťou dopadne teleso padajúce voľným pádom z výšky  h . Hmotnosť telesa je  m .

 

   

 

Riešenie:   Nech  h = y1 - y2  . Vo výške označenej súradnicou  y1   nech má teleso nulovú kinetickú energiu,  Ek1 = 0, a potenciálnu energiu  Ep1 = mgy1 . Voľným pádom teleso padá nadol a v polohe označenej súradnicou y2  má menšiu potenciálnu energiu  Ep2 = mgy2  a  neznámu kinetickú energiu  mv22 /2 . Podľa vzorca  (2.2.6.2 platí rovnosť

                                                               

0 + mgy1 = mv22/2 + mgy2    ,

 

odkiaľ  najprv osamostatníme kinetickú energiu :

 

 mv22/2 = mg(y1 - y2) = mgh ,

 

a vypočítame rýchlosť  v2  =  (2gh)1/2

_______________________________

 

Poznámka:  Rovnaký výsledok dostaneme pre rýchlosť vody prichádzajúcej do turbíny po prekonaní výškového rozdielu h . Ak poznáme prierez potrubia, pomocou vypočítanej rýchlosti môžeme zistiť, koľko mechanickej energie za sekundu voda prináša do turbíny.

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­________________________________                   

 

Príklad  2.2.6.2  Akú rýchlosť  v  treba udeliť guli smerom nahor po naklonenej rovine s uhlom  a = 300 , aby prebehla dráhu  s = 5 m ? (Nebudeme uvažovať trenie, ani odpor prostredia.)

Riešenie:  Dohodneme sa, že na začiatku má guľa nulovú potenciálnu energiu, Ep1 =0  . Jej začiatočná kinetická energia Ek1 = mv2/2. Pri pohybe nahor po naklonenej rovine postupne nadobúda výšku a stráca rýchlosť. Na konci dráhy  s  bude mať nulovú kinetickú energiu  Ek2 = 0 , pričom jej potenciálna energia bude  Ep2 = mgh = mgs sin(30o).  Použijeme vzorec  (2.2.6.2) , pomocou ktorého získame vzťah

 

mv2/2  +  0  =  0 + mgs sin(30o) ,

 

 z ktorého vypočítame začiatočnú rýchlosť : 

 

v = (gs)1/2 @ (10 ms-2 . 5 m )1/2 = (50 m2 s-2 )1/2 @  7 ms-1

___________________________________

 

Príklad  2.2.6.3   Teleso s hmotnosťou  m  začne vplyvom gravitačnej sily padať na Zem. Teleso a Zem sa navzájom priťahujú, preto po uplynutí istého časového intervalu obe telesá nadobudnú istú rýchlosť, ktorú meriame vzhľadom na vzťažnú sústavu spojenú s ich ťažiskom. Posúďte, či kinetické energie týchto telies sú po uplynutí časového intervalu  Dt  rovnaké.

Riešenie:  Podľa zákona akcie a reakcie sily,  ktorými telesá na seba pôsobia, sú rovnako veľké,  preto telesám udelia rovnako veľký impulz I = F Dt .  Predpokladáme, že na začiatku boli telesá v pokoji, takže po uplynutí časového intervalu  Dt  nadobudnú rovnaké hybnosti :  Mw = mv , kde  M je hmotnosť Zeme a  m  hmotnosť telesa. Rýchlosť Zeme w  v porovnaní s rýchlosťou telesa  v  je malá, lebo  zo zákona zachovania hybnosti vyplýva

 

 .

 

 Kinetická energia Zeme  je

 

Pomer kinetických energií Zeme a telesa je nepriamo úmerný pomeru ich hmotností : 

 

 

 

 Preto je kinetická energia Zeme zanedbateľná. (Hmotnosť Zeme M = 5,98 . 1024 kg)

 

 

Kontrolné otázky

 

1.      Definujte celkovú mechanickú energiu hmotného bodu.

2.      Aký poznatok platí pre izolovanú sústavu? Uveďte príklady izolovanej sústavy.

3.      Vyslovte zákon zachovania mechanickej energie.