2.1.5  Uhlová rýchlosť, uhlové zrýchlenie

 

            Pri opise pohybov, pri ktorých polohový vektor pohybujúcej častice sa otáča, je vhodné zaviesť ďalšie významné pojmy - uhlovú rýchlosť  a  uhlové zrýchlenie. Býva zvykom najprv definovať veličinu uhlová dráha. Je to uhol medzi polohovými vektormi - vektorom vyznačujúcim začiatočnú polohu a vektorom v danom okamihu. Jednoduchý prípad nastane, ak sa polohový vektor otáča v jednej rovine.  Na obr. 2.1.5.1  je znázornený takýto prípad.

 

    

 

Uhol  j    bol vytvorený pohybom polohového vektora z polohy  r 1  do polohy  r2  , pričom oba vektory ležia v rovine  xy . Takto vytvorenému uhlu priraďujeme  vektor  j  , kolmý na rovinu  vektorov  r 1  a  r2  , pričom jeho veľkosť zodpovedá veľkosti uhla. Vektor  j   podľa definície má taký smer, aby sa  z jeho konca otáčanie vektora r 1  k vektoru r2   javilo v smere proti chodu hodinových ručičiek. ( Smeruje do tej polroviny, z ktorej vidím otáčanie prvého vektora do smeru druhého vektora po kratšej uhlovej dráhe, proti smeru hodinových ručičiek.) Na obrázku  2.1.5.1  má preto vektor   j   smer k čitateľovi. Uhlovú dráhu, a teda aj veľkosť príslušného vektora meriame v jednotkách  radián . 

 

 

Túto jednotku možno priblížiť pomocou  obrázka 2.1.5.2 , z ktorého vidno, že ak na meranie uhla používame stupne, platí úmera :

 

s : 2p R  =  j : 3600  .

 

Úmera sa zjednoduší, ak namiesto údaja 3600  dosadíme hodnotu  2p .  To však znamená, že namiesto stupňov budeme na meranie uhlov používať novú jednotku  radián, ktorého veľkosť vyjadrená v stupňoch je

 

1 rad  =  3600 /2p = 57,2960 .

 

Z takto upravenej úmery dostaneme dôležitý vzťah medzi polomerom kružnice  R ,  stredovým uhlom  j  a dĺžkou príslušného oblúka  s  na kružnici :

 

s  =  R j .                                                                                                       (2.1.5.1)

 

Tento vzorec pri pohybe častice po kružnici vyjadruje vzťah medzi veľkosťou dráhy prejdenej časticou po obvode kružnice a príslušnou uhlovou dráhou. Skalárne veličiny  s  a  j  závisia vtedy od času, takže:

 

s(t) = R j (t)  .                                                                                               (2.1.5.2)

 

Prvou deriváciou tohto výrazu podľa času dostaneme súvislosť

 

                                                        (2.1.5.3)

 

v  ktorej   ds/dt  =  v   vyjadruje  obvodovú  rýchlosť  častice   (ako skalárnu veličinu)   a  výraz 

 

dj /dt  = w ,  

 

uhlovú rýchlosť  častice pri pohybe po kružnici (tiež ako skalárnu veličinu), takže :

 

v =  R w.                                                                                                       (2.1.5.4)                                                          

 

      

 

 

 Uhlová rýchlosť  w ako vektorová veličina sa zavádza podobne, ako vektor rýchlosti vzťahom :

                                                                                                                                                               

                                    (2.1.5.5)

 

Preto vektor uhlovej rýchlosti  w   má smer rozdielu vektorov uhlovej dráhy, ktoré sú v čitateli.

 

Poznámka Pri pohybe po kružnici vektory  j 1  ,  j 2  sú na rovinu kružnice kolmé a teda aj vektor uhlovej rýchlosti je na túto rovinu kolmý.  Ak sa veľkosť vektora  j   s časom zväčšuje,  má vektor  w   smer  vektora j  , pri jeho zmenšovaní - opačný smer.

 

Deriváciou rovnice  (2.1.5.4) podľa času získame vzťah :

 

a t  =  R a  ,                                                                                                 (2.1.5.6)

 

kde a   je (skalárne) uhlové zrýchlenie a kde  at  predstavuje (skalárne) tangenciálne zrýchlenie častice, pričom príslušná vektorová veličina  at  má smer dotyčnice kružnice určenej  jednotkovým vektorom t. Celkové zrýchlenie hmotného bodu následne  možno rozložiť na tangenciálnu a normálovú zložku, pre ktoré platí 

 

a = at + an =( a ´ r )+ (w ´ v) ,                                                               (2.1.5.7)

 

kde a  je uhlové zrýchlenie, w  je uhlová rýchlosť, r je polohový vektor hmotného bodu   a v  obvodová rýchlosť, s ktorou sa hmotný bod pohybuje. Tangenciálna zložka zrýchlenia určuje nerovnomernosť pohybu a je určená   vzťahom  

 

at =  a  Rt.                                                                                                   (2.1.5.8)

 

Normálová zložka zrýchlenia spôsobuje  zmenu smeru a je určená vzťahom:

,                                                                                                 (2.1.5.9)

 

ktoré tiež nazývame dostredivé zrýchlenie. (r je jednotkový vektor so začiatkom v strede   kružnice S. ) Veľkosť celkového  zrýchlenia hmotného bodu je určená vzťahom

 

          .                                                                                   (2.1.5.10)

 

Uhlové zrýchlenie  a    ako vektorová veličina sa definuje vzťahom

 

                                         (2.1.5.11)

 

a pri pohybe po kružnici je na jej rovinu kolmé. O jeho smere platí podobná poznámka, ako o smere vektora uhlovej rýchlosti.

­­­­­­­­­­­­­_______________________________

Príklad 2.1.5.1  Hmotný bod sa začal pohybovať po kružnici polomeru r  s konštantným uhlovým zrýchlením a . V ktorom časovom okamihu bude vektor zrýchlenia zvierať uhol b = 60 0 s vektorom rýchlosti v?

 

 

 

Riešenie: Kým začneme riešiť je vhodné si uvedomiť skutočnosti:

·       Jedná sa o rovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici so začiatočnými podmienkami j0 = 0 a w 0 = 0.

·       Vektor rýchlosti v  má smer dotyčnice ku trajektórii pohybu.

·       Vektor zrýchlenia rozložíme na tangenciálnu a normálovú zložku.

·       Vektor rýchlosti  je kolineárny (rovnobežný) s tangenciálnou zložkou zrýchlenia.

·       Uhol b, ktorý zviera vektor zrýchlenia s vektorom rýchlosti je aj uhol, ktorý zviera vektor zrýchlenia s vektorom tangenciálnej zložky zrýchlenie, pre ktorý platí:

 


 

.

______________________________________

 

Kontrolné otázky

 

1.    Charakterizujte krivočiary pohyb.

2.    Uveďte niektoré  špeciálne prípady krivočiareho pohybu.

3.    Aký smer má rýchlosť pri krivočiarom pohybe?

4.    Do akých zložiek rozkladáme vektor zrýchlenia pri krivočiarom pohybe v rovine?

5.    Ak sa teleso  pohybuje s  konštantným celkovým zrýchlením rozhodnite, či môže mať  jeho dráha tvar určenú ktoroukoľvek z nasledovných kriviek :

    a) priamka     b) kružnica    c) špirála  d)  ľubovolný tvar.

6.    Môže byť vektor rýchlosti konštantný pri krivočiarom pohybe?

7.    Ak častica koná rovnomerný krivočiary pohyb, aký smer má vektor rýchlosti?

8.    Vyjadrite dĺžku ubehnutej dráhy hmotného bodu, ktorý sa pohybuje krivočiarym pohybom a) v rovine, b) v priestore

9.    Akým smerom je orientovaný vektor okamžitej rýchlosti vzhľadom na trajektóriu?