2.1.11 Zložený pohyb - zrýchlenie

Z dynamického hľadiska je dôležité zrýchlenie častice. Z pohľadu dvoch sústav - S a S , nie je rovnaké. Zrýchlenie vzhľadom na sústavu S získame deriváciou vzťahu (2.1.10.5)

(dv /dt)_S = (dv_o /dt )_S + (dv '/dt)_S + (d(w ´ r ' )/dt)_S . (2.1.11.1)

Na ľavej strane je zrýchlenie a častice vzhľadom na inerciálnu sústavu S . Prvý člen na pravej strane predstavuje zrýchlenie a_o začiatku sústavy S vzhľadom na sústavu S . V ďalších dvoch členoch vystupujú vektory v ' a r ' vyjadrené v sústave S , preto na derivácie týchto vektorov vzhľadom na sústavu S sa vzťahuje vzorec (2.1.10.6) , takže platí :

(d v ' /dt)_S = (d v ' /dt)_S + (w ´ v ' ) = a ' + (w ´ v ' ), (2.1.11.2)

kde a ' je zrýchlenie častice vzhľadom na sústavu S . Posledný člen rovnice (2.1.11.1) sa počíta takto

[d(w ´ r ')/dt]_S = (dw /dt) ´ r ' + w ´ (dr '/dt)_S =

(a ´ r ' ) + (w ´ v ' ) + [w ´ (w ´ r ' )], (2.1.11.3)

kde dw /dt = a je uhlové zrýchlenie sústavy S vzhľadom na sústavu S a kde za (dr '/dt)_S sa dosadí výsledok podľa vzorca (2.1.10.4).

Dosadením výsledkov (2.1.11.2) a (2.1.11.3) do rovnice (2.1.11.1) dostaneme výsledný vzťah :

a = a_o + a ' + (a ´ r ' ) + 2(w ´ v' ) + [w ´ (w ´ r ' )] (2.1.11.4)

_____________________________________

Príklad 2.1.11.1 Vypočítajte zrýchlenie bodu na obvode kolotoča vzhľadom na okolitý terén, keď kolotoč sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou w a polomer kolotoča je R .

Riešenie : Sústavu S viažeme na otáčajúci sa kolotoč, sústavu S na terén, pričom začiatky sústav stotožníme. Vtedy r_o = 0 , v_o = 0 , a_o = 0 . Kolotoč nemá uhlové zrýchlenie, preto aj a = 0 . Bod sa vzhľadom na kolotoč nepohybuje, preto v' = 0 , aj a' = 0. Vzorec ( 2.1.11.4) na výpočet zrýchlenia sa takto veľmi zjednoduší :

a = w ´ (w ´ r ' ) = w (w × r ' ) - r 'w² = - r 'w² ,

lebo vektory w a r ' sú na seba kolmé, takže ich skalárny súčin sa rovná nule. Vektor zrýchlenia teda smeruje do stredu otáčania, je to dostredivé zrýchlenie, lebo ide o pohyb bodu po kružnici. Jeho veľkosť je Rw² .

_____________________________________________

Príklad 2.1.11.2 Posúďte, aké zrýchlenie má predmet nehybne ležiaci v sústave S vzhľadom na otáčajúcu sa sústavu S .

Riešenie : Stotožníme začiatky sústav , takže r_o = 0 , v_o = 0 , a_o = 0 . Pre nehybný predmet v sústave S platí v = 0, takže zo vzorca (2.1.10.5) pre rýchlosť dostaneme

v’ = - (w ´ r ' ) .

Keďže aj a = 0 , pre zrýchlenie predmetu vzhľadom na sústavu S na základe rovnice (2.1.10.5) dostaneme výsledok :

a ’ = - 2 (w ´ v ' ) - w ´ (w ´ r ' ) = + 2 w ´ (w ´ r ' ) - w ´ (w ´ r ' ) = +w ´ (w ´ r ' ) = - r 'w² . Výsledok je teda rovnaký, ako v príklade 2.1.11.1, ide o dostredivé zrýchlenie. Pozorovateľovi sledujúcemu okolité telesá z otáčajúcej sa sústavy S sa situácia javí tak, že okolité telesá sa okolo neho pohybujú po kružniciach. Takto napríklad vidíme pohybovať sa hviezdy, keď ich pozorujeme z otáčajúcej sa Zeme, preto im musíme pripísať dostredivé zrýchlenie.

_________________________________

Príklad 2.1.11.3 Bod sa pohybuje v inerciálnej sústave S po priamke konštantnou rýchlosťou v . Vypočítajte zrýchlenie tohto bodu ako sa javí zo sústavy S , ktorá sa vzhľadom na sústavu S otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou w , ale nevzďaľuje sa od nej. Vektory v a w nech sú pre jednoduchosť na seba kolmé. (Pozri obr. v príklade 2.1.10.4)

Riešenie : Stotožníme začiatky sústav, takže r_o = 0 , v_o = 0 , a_o = 0 a navyše a = 0 . Bod sa v S pohybuje konštantnou rýchlosťou, takže v = 0 . Rýchlosť bodu vzhľadom na S bola vypočítaná v príklade 2.1.10.4 :

v ’ = v - (w ´ r ) = v - [ w ´ (r_o + v t )] .

Pre zrýchlenie podľa rovnice ( 2.1.11.4 ) platí :

a' = - 2 (w ´ v ' ) - w ´ (w ´ r ) = - 2 w ´ [ v - (w ´ r ) ] - w ´ (w ´ r ) = - 2(w ´ v) + w ´ (w ´ r ) .

Zrýchlenie má dva členy, druhý predstavuje dostredivé zrýchlenie, prvý je kolmý na vektor rýchlosti, predstavuje zrýchlenie, ktoré mení smer vektora rýchlosti. O zmene smeru vektora rýchlosti v ' sme hovorili v príklade 2.1.10.4. Je dôsledkom otáčania vzťažnej sústavy S , v inerciálnej sústave S vektor rýchlosti v nemení smer, ani veľkosť a nazýva sa Coriolisove zrýchlenie.

___________________________________

Kontrolné otázky

1. Vysvetlite, čo rozumieme pod pojmami „ absolútna sústava a relatívna sústava“.

2. Vyjadrite zrýchlenie hmotného bodu A vzhľadom na absolútnu sústavu. Vysvetlite význam jednotlivých veličín i členov.

3. Vyjadrite zrýchlenie hmotného bodu A vzhľadom na relatívnu sústavu. Vysvetlite význam jednotlivých veličín i členov.

4. Napíšte vzťah pre Coriolisove zrýchlenie.

5. Kedy musíme zvažovať pôsobenie Coriolisovho zrýchlenia? Uveďte príklady.