1.4.3 Plošný integrál, Gaussova - Ostrogradského veta

Pod plošným integrálom vektorovej funkcie sa najčastejšie rozumie integrál, ktorý zapisujeme v tvare

(1.4.3.1)

Za znakom dvojnásobného integrálu je skalárny súčin vektorovej funkcie A s diferenciálom dS , ktorý ako vektor je kolmý na príslušnú elementárnu plôšku a jeho veľkosť predstavuje jej plošný obsah. Takémuto integrálu sa hovorí tok vektora A cez plochu S .

Aj v tomto prípade, v zmysle Riemannovej definície integrálu, ide vlastne o súčet limitne veľkého počtu elementárnych skalárnych súčinov A × dS = A dS cosa , kde A je veľkosť vektorovej funkcie (vektora) A , dS veľkosť príslušného dS a a uhol medzi nimi v danom bode plochy, pričom sa tieto súčiny sčítajú po celej ploche, po ktorej integrujeme. Veľkosť, ani smer vektora A(x,y,z) nemusia byť konštantné, od bodu k bodu na ploche sa môžu meniť.

Keď dS vyjadríme v zložkách : dS = i dydz + j dzdx + k dxdy , skalárny súčin A × dS možno vyjadriť aj v tvare :

A × dS = A_x dydz + A_y dzdx + A_z dxdy ,

(1.4.3.2)

takže integrál (1.4.3.1) možno vo vhodnom prípade rozpísať ako súčet troch integrálov. Výsledkom tohto integrálu je skalárna funkcia.

Ako príklad možno uviesť vzťah medzi elektrickým prúdom I a vektorom prúdovej hustoty j :

V teórii poľa sa často stretávame s plošným integrálom cez uzavretú plochu

(1.4.3.3)

ktorý pomocou Gaussovej - Ostrogradského vety možno premeniť na objemový integrál divergencie vektorovej funkcie A :

(1.4.3.4)

kde dt predstavuje objemový element, ktorý v  karteziánskej súradnicovej sústave má tvar dt = dx dy dz . Pod uzavretou plochou pritom rozumieme napríklad povrch gule, elipsoidu, alebo iného útvaru, tvoriaceho rozhranie medzi vnútorným a vonkajším priestorom. Podľa dohody sa elementárne plošné vektory dS orientujú vždy z uzavretej plochy von. Správnosť tejto veľmi významnej vety na tomto mieste nebudeme dokazovať.

_______________________________________

Príklad 1.4.3.1 Vypočítajte plošný integrál funkcie A = K (r /r³), kde K je konštanta, r polohový vektor, r jeho veľkosť, cez guľovú plochu s polomerom R, ktorej stred je umiestnený do začiatku súradnicovej sústavy.

Riešenie : Pri počítaní integrálu (1.4.3.3) si uvedomíme, že vektory r a dS sú v každom bode povrchu gule rovnobežné, preto skalárny súčin A × dS = K (r /r³) × dS = K (1/r³) r × dS = K (1/r³) r dS = K (1/ r²) dS, pričom na povrchu gule r = R . Preto

lebo plošný integrál z dS cez celý povrch gule je 4pR² .

______________________________________

Kontrolné otázky

1. Čo rozumiete pod plošným integrálom vektorovej funkcie ?

2. Napíšte Gaussovu - Ostrogradského vetu !