1.3.5   Divergencia a rotácia vektorovej funkcie

 

     Pri opise fyzikálnych polí sa často stretávame  s výrazmi, ktoré možno formálne vyjadriť ako skalárny, alebo ako vektorový súčin nabla operátora s vektorovou funkciou. Označujú sa názvami  divergencia, resp. rotácia vektorovej funkcie.

Divergencia vektorovej funkcie sa zavádza vzťahom : 

 

            div F(x,y,z)  =  Ñ × F  =  ( i /x + j / y + k /z) × (Fx i  + Fy j  + Fz k )  =

 

                                               =    Fx /x  +  Fy /y  +  Fz / z                               (1.3.5.1)

V symbolickom skalárnom súčine nabla operátora s vektorovou funkciou sa postupuje rovnako, ako pri skalárnom súčine dvoch vektorových funkcií, zapísaných v zložkovom tvare, teda podľa vzorca (1.2.1.5).  Výsledkom divergencie vektorovej funkcie je skalárna funkcia. Súčin je skutočne symbolický, lebo nabla operátor nie je v skutočnosti vektor, nemožno hovoriť o jeho veľkosti, ani o smere. 

 

Rotácia vektorovej funkcie sa zavádza vzťahom :

 

rot F(x,y,z)  =  Ñ ´ F  = ( i /x + j /y + k /z) ´ (Fx i  + Fy j  + Fz k )  =

                   

 

(1.3.5.2)         

 

 

 

Aj v tomto prípade sa symbolický vektorový súčin nabla operátora s vektorovou funkciou vykonáva podľa pravidiel vektorového súčinu medzi vektormi vyjadrenými v zložkách, teda podľa vzorcov  (1.2.2.6)  a  (1.2.2.7) .

_______________________________________

Príklad 1.3.5.1  Vypočítajte divergenciu a rotáciu vektorovej funkcie  f = r(x,y,z) =  xi + yj + zk  . Uvedomte si, že takáto funkcia (polohový vektor) má charakter radiálneho vektorového poľa, keď v ľubovoľnom bode priestoru tejto funkcii prislúcha  vektor  r  smerujúci od stredu (začiatku) súradnicovej sústavy (obr. 1.3.5.1)

Riešenie :  div r  =   x / x  +  y /y  +  z /z  =  3

                                  

 

 

 

 

 

 

Príklad 1.3.5.2  Vypočítajte divergenciu a rotáciu vektorovej funkcie  f (x,y,z) =  w ´ r   ktorá je vektorovým súčinom konštantného vektora  w  s  polohovým vektorom  r . Nech  r =  x i + y j  a  w  = w k .  Vektorová funkcia  f  zobrazuje pole vektora rýchlosti pri otáčaní roviny uhlovou rýchlosťou  w  . Je to príklad axiálneho vektorového poľa, v ktorom vektorová funkcia má vždy smer dotyčnice ku kružnici, ktorej stred leží v začiatku súradnicovej sústavy.

Riešenie :  Najprv vypočítame vektorový súčin  w ´ r  = (w k) ´ (xi + yj) =  xw  j - y w i . Potom

div f  =  Ñ ×  f  =    Ñ × ( w ´ r )  =  ( i /x + j /y + k /z) × (xw  j - y w i )  = 0

rot f   =  Ñ ´ f  =   Ñ ´ ( w ´ r ) =  ( i /x + j /y + k /z) ´ (xw  j - y w i )  =     

         = 2w k

_______________________________________

 

 

Výsledky príkladov  1.3.5.1  a  1.3.5.2  hovoria o tom, že rotácia vektorovej funkcie predstavujúcej radiálne pole sa rovná nule, ale rotácia v prípade axiálneho poľa je nenulová. Naopak je to pri divergencii, kde nenulový výsledok sme dostali pri radiálnom poli. Tieto výsledky naznačujú význam operácií  divergencia a rotácia pri charakterizácii fyzikálnych polí. Elektrostatické pole v okolí bodového náboja má radiálny charakter, zatiaľ čo magnetické pole v okolí vodičov elektrického prúdu charakter axiálny. Táto vlastnosť sa odzrkadľuje aj na Maxwellových rovniciach, keď pre vektor intenzity el. poľa platí  div E = r/eo  ale pre vektor  magnetickej indukcie  div  B  =  0 . A naopak , v elektrostatickom poli   platí   rot E = 0 ,  ale   pre  vektor  intenzity   stacionárneho  magnetického poľa platí  rot  H = j  , kde  j  je vektor prúdovej hustoty.

           

Kontrolné otázky

1.    Uveďte, čo rozumieme pod divergenciou vektorovej funkcie !

2.     Uveďte, čo rozumieme pod rotáciou vektorovej funkcie !

3.     Napíšte rotáciu vektorovej funkcie v tvare determinatu !

4.     Uveďte charakteristiky radiálneho a axiálneho vektorového poľa - aká je ich divergencia a rotácia !