1.3.3   Derivácia súčinov vektorových funkcií

 

            Rozlíšime tri hlavné prípady súčinov : skalárny násobok vektorovej funkcie času  skalárnou funkciou času, skalárny súčin dvoch vektorových funkcií času a ako tretí prípad vektorový súčin dvoch vektorových funkcií.

V prvom prípade vektorová funkcia môže byť výsledkom skalárneho násobku inej vektorovej funkcie, pričom vo všeobecnom prípade skalárna, aj pôvodná vektorová funkcia môžu závisieť od času. Napríklad   ak 

 

b(t) =  s(t) a(t) ,

 

potom pri derivácii tohoto výrazu musíme postupovať ako pri derivácii súčinu :

 

                                                                                                                      (1.3.3.1)

Podobne, ak máme derivovať skalárny, alebo vektorový súčin dvoch vektorových funkcií závisiacich od času, treba postupovať podľa pravidla pre deriváciu súčinu :

 

                                                                (1.3.3.2)

 

 

 

 

                                                            (1.3.3.3)

 

Pri derivácii vektorového súčinu treba zachovať poradie vektorových funkcií, pri skalárnom súčine možno uplatniť jeho komutatívnosť. Analogicky postupujeme, ak máme derivovať napríklad skalárny násobok vektorového súčinu s(a ´ b) ,  alebo súčin skalárnej funkcie so skalárnym súčinom   s(a × b) .  Vzťahy pre derivácie viacnásobných súčinov si už čitateľ dokáže odvodiť sám.

 


Príklad 1.3.3.1   Derivujte podľa času vektorovú funkciu F(t),  ktorá je výsledkom násobenia vektorovej funkcie skalárnou funkciou času,  F(t) =  (3t 2) (p i  +  qt j  +  rt 2 k)  , kde p, q, r  sú konštanty.  Vypočítajte veľkosť výsledného vektora G(t ) v čase  t = t1 .

Riešenie :  Postupujeme podľa vzorca  (1.3.3.1) :

dF/dt  =  (6t ) (p i  +  qt j  +  rt 2 k) + (3t 2) (q  j  +  2rt k) =  6pt i + (6qt 2 + 3qt 2) j  + (6rt 3 + 6rt 3)k Veľkosť výsledného vektora  G(t ) =  6pt i + 9qt 2 j  + 12rt3k  vypočítame podľa vzťahu (1.1.4.3) (Pythagorovej vety), do ktorého dosadíme konkrétny časový údaj  t1  :

                                    G(t) = [ (6pt1)2  + (9qt12)2 + (12rt13)2 ]1/2   .

 

 


Kontrolné otázky

1.     Ako derivujeme podľa času súčin vektorovej a skalárnej funkcie (t.j. skalárny násobok vektorovej  funkcie), keď obe funkcie závisia iba od času ?

2.     Vyjadrite deriváciu skalárneho súčinu dvoch vektorov podľa času  !

3.     Vyjadrite deriváciu vektorového súčinu dvoch vektorov podľa času  !