1.1.4    Zložky a súradnice vektora

 

Rozklad vektora na zložky je opačná operácia ako súčet vektorov. V rovine možno vektor rozložiť na dve zložky, t.j. na dva vektory do vopred určených smerov. Sčítaním zložiek vznikne pôvodný vektor. Na  obr. 1.1.4.1  je znázornený rozklad vektora  a do smerov naznačených dvomi priamkami. Uskutočňuje sa tak, že priamky, do smerov ktorých treba vektor rozložiť, vedieme koncovým aj začiatočným bodom vektora. Tak vznikne rovnobežník, na ktorom už jednoducho vyznačíme  zložky  p  a  q .

 

 

V  priamkach, do ktorých rozkladáme vektor a , môžeme zvoliť jednotkové vektory, ktoré označíme  e1  a  e2 .  Jednotkovými vektormi sú potom určené príslušné smery. Zložky p  a  q   vyjadríme ako skalárne násobky vektorov  e1  a  e2  :   p  =  ape1  ,   q  = aqe2 . Vektor  e1 však môže mať opačný smer ako zložka  p ,  a vtedy skalár   ap  pred vektorom  e1  musí byť záporný. Preto skalár  ap  nepredstavuje veľkosť vektora  p,  ale je jednou zo súradníc rozloženého vektora  a  vo vzťažnej sústave určenej vektormi e1  a  e2  .  Vektor  a možno po takomto rozklade na zložky vyjadriť v tvare

 

a  =  p + q  =    ape1  +  aqe2 .                                                                         (1.1.4.1)

                     

O takomto vyjadrení hovoríme, že vektor  a  je lineárnou kombináciou vektorov  e1  a  e2  .

 

V trojrozmernom priestore musí byť vzťažná sústava určená tromi vektormi  e1 ,  e2  a  e3   o ktorých hovoríme, že tvoria jej bázu . Vo všeobecnosti to ani nemusia byť jednotkové vektory.  Najčastejšie sa však používa rozklad do troch navzájom kolmých smerov, určených jednotkovými vektormi so zaužívaným označením  i,  j,  k . Stotožňujú sa s osami  x, y, z   karteziánskej súradnicovej sústavy. Ľubovoľný vektor  f možno pomocou takejto trojice jednotkových vektorov vyjadriť ako ich lineárnu kombináciu

 

 f  =  fx i + fy j  + fz k  .                                                                                   (1.1.4.2)       

 

V tomto vyjadrení vektora  f  sú  fx  ,  fy  a  fz   jeho súradnice, ktoré môžu byť kladné, i záporné podľa toho, aký je jeho smer vzhľadom na jednotkové vektory.  Na obr. 1.1.4.2  je znázornený dvojrozmerný prípad, pričom vektor  g  má zápornú súradnicu  gx , ostatné súradnice vektorov  f  a  g  sú kladné.

 

 

Veľkosť vektora  f  možno v karteziánskej súradnicovej sústave  vyjadriť pomocou jeho súradníc, použitím Pythagorovej vety

 

 .                                                           (1.1.4.3)  

 Vektor  f  zviera s vektormi  i ,  j ,  k   smerové uhly   a , b , g ,  pre ktoré platia vzťahy

 

              ,          

                                     (1.1.4.4)     

ktoré si možno overiť na dvojrozmernom obrázku  1.1.4.2 .

 

Zo vzťahov  (1.1.4.4) pre kosínusy smerových uhlov (smerové kosínusy)  bezprostredne vyplýva rovnosť

 

cos2a  +  cos2b  + cos2g  = 1                                                                         (1.1.4.5)

Súčet vektorov a  skalárny násobok vektora možno výhodne počítať, keď vektory vyjadríme v zložkovom tvare. Napríklad ak  a = ax i + ay j + az k ,   b = bx i + by j + bz k   potom môžeme ich súčet uskutočniť po zložkách, na základe platnosti komutatívnosti a asociatívnosti sčítania vektorov :

  

a + b =  (  ax+ bx) i  +  (ay + by) j  + (az + bz ) k  ,                                         (1.1.4.6)                                            

takže pre súradnice výsledného vektora  c   platí

   

cx  =  ( ax+ bx)  ,   cy  =   (ay + by) ,    cz  =  (az + bz ) .                                   (1.1.4.7)                                      

Pre skalárny násobok vektora vyjadreného v zložkách platí :

 

d  = sa =  s ( ax i + ay j + az k ) =  sax i + say j + saz k     ,                                                    

 

pričom pre jeho súradnice platí    dx = sax  ,  dy = say ,  dz = saz .                   (1.1.4.8)

 

__________________________________

Príklad  1.1.4.1  Vypočítajte súčet vektorov  a =  3 i + 2 j  -  k   a   b =  -i + 2 j -  2 k  .

Riešenie :   c =  a + b =  (3 - 1)i + (2 + 2)j  + (-1 -2)k  =   2 i + 4j  -  3k ,    takže súradnice vektora  c  sú :   cx =  2 ,  cy =  4 ,  cz =  -3  .

 

Príklad  1.1.4.2 Vyjadrite vektor  d, ktorý  má  trojnásobnú  veľkosť  a opačný smer ako vektor    a =  3 i + 2 j  -  k . 

Riešenie :   d  =  (-3)a  =  (-3)(3 i + 2 j  -  k )  =  -9 i  - 6 j  + 3k  . Presvedčite sa , že veľkosť vektora  d  je naozaj trojnásobná v porovnaní s veľkosťou vektora  a .

__________________________________

 

 

Kontrolné otázky

1.    Ako rozkladáme vektor (v rovine) do dvoch vopred zadaných smerov ?

2.     Možno vektor rozložiť do dvoch smerov, ktoré zvierajú uhol väčší než  90 o ?

3.     Uveďte čo rozumieme pod lineárnou kombináciou vektorov !

4.    Uveďte, čo je báza vektorov !

5.    Ako sa vypočíta veľkosť vektora, keď sú známe jeho súradnice ?

6.    Ako sa zmenia zložky vektora, keď ho vynásobíme skalárom ?

7.    Ako sa zmenia súradnice vektora, keď ho vynásobíme skalárom ?

8.    Vyjadrite súčet dvoch vektorov pomocou ich súradníc !

9.    Uveďte, ako vypočítate uhol ktorý vektor zviera s osou  y,  keď poznáte jeho súradnice !