Planckov zákon vyžarovania

Problematikou vyžarovania absolútne čierneho telesa sa zaoberal Max Planck. Pri odstraňovaní nesúladu teoreticky odvodenej krivky vyžarovania,  určenej Rayleighovým  a Jeansovým zákonom Max Planc  vychádzal:

·        z predpokladu, že ekvipartičná teoréma platí len pre spojité rozdelenie možných energií;

·        pripustil hypotézu, že energia elektromagnetickej vlny s frekvenciou  f sa nevyžaruje z povrchu telesa  spojite , ale je v skutočnosti kvantovaná v jednotkách  hf , kde Planckova konštanta  h = 6,624 . 10-34 J.s .

 

 Na základe  týchto predstáv kvantovej fyziky odvodil Max Planck  tvar spektra absolútne čierneho telesa, t.j. Planckov zákon vyžarovania pre spektrálnu hustotu intenzity vyžarovania v dutine absolútne čierneho telesa nasledovným postupom:  

·        zvážil, že predpoklady z ktorých vychádzali Rayleigh a Jeans pri odvodzovaní spektrálnej hustoty intenzity Ml (l,T) dl v  jednotkovom objeme dutiny v intervale vlnových dĺžok l al + dl boli správne až po určenie skutočného  počtu stojatých vĺn v dutine. Usúdil, že  I. a II. veta termodynamická platí i pre  javy spojené s elektromagnetickým žiarením;

·        na základe  kvantovej  hypotézy, prisúdil mikrooscilátoru (kmitajúcemu atómu) v stene absolútne čierneho telesa energie  určené vzťahom

 

En = n e  ,                                                                                                       (1)

 

kde   n      je celé číslo a   n = 1, 2, 3, ....   .

 

 = h f  ,                                                                                                        (2)

 

kde   f   je   frekvencia  oscilácií  atómov a  h  Planckova  konštanta

·        na základe predchádzajúceho predpokladu vyjadril spektrálnu hustotu intenzity Ml (l,T) dl vzťahom

 

Ml  (l,T) dl =   n (l) dl ,                                                                           (3)

 

 

kde skutočný  počet stojatých vĺn n v dutine je určený  (pozri odvodenie v hypertexte Rayleighov- Jeansov zákon -  vzťah (2)

 

  .                                                                          (4)

 

 

     Vypočítajme strednú hodnotu energie  oscilátora s kvantovanými hodnotami energie, určenými  vzťahom  (1).  Podľa štatistickej fyziky sústava, ktorá je v termodynamickej rovnováhe s okolím, sa s pravdepodobnosťou

 

,                                                                                     (5)

 

nachádza v stave s energiou E. Vo vzorci  (5) k je Boltzmannova konštanta, c je normovací faktor, ktorý musíme zvoliť tak, aby

 

                                                                                                  (6)

 

 

Ak sa sústava  môže nachádzať v určitých diskrétnych stavoch s energiami  En , potom pravdepodobnosť toho, že sústava sa bude nachádzať práve v stave s energiou En , bude

 

   ,                                                                           (7)

 

kde v menovateli  sčítame cez všetky   n.   Stredná hodnota energie pri (absolútnej) teplote T je daná vzťahom

 

.                                                                                          (8)

 

Ak dosadíme  (5), (1) a (2) do rovnice  (8), dostaneme

 

   ,                                                                           (9)

 

kde  t = 1/ kT. Pravú stranu rovnice  (9) možno prepísať ako

 

 

.                                        (10)

 

Súčet nekonečného radu v  (10) nájdeme, ak si uvedomíme, že ide o nekonečný geometrický rad, pre ktorý platí:

 

 

Na základe toho dostaneme

 

,

 

odkiaľ po derivovaní vyplýva konečný výsledok pre strednú energiu kvantového oscilátora

 

.                                                                                               (11)

 

Výsledný vzorec pre spektrálnu hustotu intenzity vyžarovania v dutine získame po dosadení   vzťahu (11) do rovnice (3),  s uvážením, že  platia nasledovné vzťahy:

 

Ml (l,T) dl =  -  Ml ( f ,T) df   ,                               

 

 

Po dosadení 

 

,

 

a vykrátení dostaneme Planckov zákon vyžarovania v tvare

 

.                       

 

Možno ukázať, že pre malé frekvencie , alebo vysoké teploty z Planckovho zákona vyplýva platnosť Rayleighovho- Jeansovho zákona.