Úlohy:

1. Pri prechode Zeme aféliom je Zem o 3,3 % ďalej od Slnka ako v perihéliu. Určte o koľko by bola teplota Zeme v aféliu menšia ako v perihéliu. Zem považujeme za čierne teleso, ktorého stredná teplota v perihéliu je 15 ⁰C.

[ Dt = 4,6 ⁰C]

2. Žiarenie Slnka je svojim spektrálnym zložením podobné žiareniu absolútne čierneho telesa s maximom na vlnovej dĺžke 480 nm. Určite teplotu povrchu Slnka, výkon vyžarovania a hmotnosť, ktorú Slnko stráca za každú sekundu v dôsledku tohto žiarenia. Odhadnite dobu, za ktorú sa hmotnosť Slnka týmto spôsobom zmenší o 1%. ( Polomer Slnka je R=6,96.10⁵ km, hmotnosť Slnka je m_S = 1,99 10³⁰ kg).

[ T = 6033 K, Dm = 5.10⁹ kg.s^-1 t = 3,9.10¹⁸ s t = 1,2.10¹¹ rokov]

3. Vodnú paru teploty 100 ⁰C vedieme potrubím dĺžky 3,5 m s vonkajším priemerom 3,75 cm. Celkové straty tepla do okolia sú E = 1 161 kJ za hodinu. Koľko percent strát pripadá na tepelné žiarenie, ak koeficient absorpcie materiálu potrubia k = 0,5? Teplota okolia sa udržiava na konštantnej hodnote 24 ⁰C.

4. [ W_z/W_rel = 42 % ]

5. Na ten istý kov dopadne svetlo s frekvenciou f a následne svetlo s frekvenciou o tretinu menšou ako bolo pôvodné. Určite, v ktorom prípade budú mať vzniknuté fotoelekróny väčšiu kinetickú energiu.

6. [ V prvom.]

5. Na ten istý kov dopadne svetlo s frekvenciou f a následne svetlo s frekvenciou o tretinu menšou ako bolo pôvodné. Určite o koľko sa zmení  kinetická energia oproti fotoelektónom, vzniknutých pri prvom ožiarení.

[E_k1- E_k2 = E_k1/3]

6. Výstupná práca dvoch materiálov je v pomere 2:1. Určite v akom pomere budú kinetické energie fotoelektrónov, ak v druhom prípade frekvencia poklesne na polovicu hodnoty frekvencie prvého žiarenia.

[E_k1/ E_k2= 2].

7. Výstupná práca striebra je 4,28 eV, hliníka 3,74 eV, zlata 4,58 eV, bárya 2,29 eV , draslíka 2,15 eV a lítia 2,39 eV, cézia 1,89eV. Pri výrobe fotočlánku pre viditeľnú oblasť, ktorý materiál by ste vybrali ako najvhodnejší? Svoju odpoveď zdôvodnite.

8. Od okolia izolovaná zlatá guľôčka s polomerom R = 1 cm je ožiarená svetlom vlnovej dĺžky l₀ = 200 nm. Vypočítajte a) na aký maximálny potenciál V_bm sa nabije guľôčka v dôsledku straty fotoelektrónov, b) aký náboj vznikne na nej, c) koľko elektrónov sa uvoľnilo?

[ N= 5,56. 10⁶ ]

9. Študent na skúške z fyziky nakreslil dve krivky (pozri obr. 10.1) odpovedajúce spektrálnej hustote intenzity vyžarovania absolútne čierneho telesa pre dve rôzne teploty (T₂>T₁). Získa za odpoveď plný počet bodov?

10. Teleso zohriaté na teplotu T₁ = 2500 K postupne chladne. Vlnová dĺžka svetla, na ktorú pripadá relatívne najviac energie v spektre žiarenia tohto telesa sa zmení o Dl = 0,8 mm. Vypočítajte, na akú teplotu T₂ sa teleso ochladilo za predpokladu, že žiari ako absolútne čierne teleso.

[T₂ = 1 479,6 K ]

11. Nájdite výsledok pôsobenia operátorov (d²/dx²)x² na funkciu e^x .

[e^x(2+4x+x²)]

12. Nájdite výsledok pôsobenia operátora [(d/dx)x ]² na funkciu cos x..

[(cos x – x sin x)²]

13. Nájdite výsledok pôsobenia operátora [(d/dx)x ]² na funkciu e^x.

[e^2x(1+x)²]

14. V algebre operátorov záleží na ich poradí. Dva operátory komutujú ak spĺňajú podmienku

.

Pôsobením operátorov na diferencovateľnú funkciu y(x) dokážte platnosť nasledovných komutačných relácií .

15. Dokážte, že operátory sú nekomutatívne.

16. Dokážte, že operátory vzájomne komutujú.

[v = 10 m·s^–1]

17. Ukážte, že vlnová funkcia y(x,t) = A je vlastnou funkciou operátora hybnosti a nájdite príslušnú vlastnú hodnotu tohto operátora!

[ Pozri definíciu , p]

18. Aká je grupová rýchlosť voľnej mikročastice pohybujúcej sa rýchlosťou mnohonásobne menšou, ako je rýchlosť svetla? Predpokladajte pri tom, že závislosť celkovej energie mikročastice od hybnosti vyjadruje rovnica E= p²/2m_0.

[ v_g = v]

19. Odhadnite šírku čiary Dl a rozptyl frekvencie Dn pre svetelný impulz rubínového lasera, ktorého doba trvania je t = 1 ns a vlnová dĺžka l = 630 nm.

[ Dl ³ l²/(4pcDt) ³0,105 pm, D f ³7,96 .10⁷ s]

20. Častica hmotnosti m v jednorozmernom potenciálnom poli má celkovú energiu rovnú

(w - uhlová frekvencia harmonického oscilátora). Pomocou Heisenbergových vzťahov neurčitosti vypočítajte najmenšiu možnú energiu častice v tomto poli!

[ E = hw/ 4p]

21. Akú rýchlosť v dosiahne fotónová raketa s hmotnosťou m = 10 t, keď jej svetelný zdroj vlnovej dĺžky l = 500 nm pracuje s výkonom P = 1 MW a je zapnutý 365 dní? Koľko fotónov sa pri tom vyžiari za jednu sekundu?

21. Poloha elektrónu je určená s presnosťou Dx = 10^–10 m. Vypočítajte neurčitosť jeho hybnosti Dp_x. Predpokladajme, že energia elektrónu je rádovo E ≈ 1 keV. Vypočítajte percentuálnu neurčitosť jeho energie!

[Dp >³5,27 10^-25 kg.m-s^-1, DE/E .100= 6.18 %]

22. Strela s hmotnosťou m_s = 0,05 kg a elektrón s hmotnosťou m_e = 9,11×10^–31 kg majú rovnakú rýchlosť v = 300 m×s^–1, ktorá bola určená s presnosťou 0,01%. Aká je nepresnosť v určení ich polohy, keď poloha bola určovaná súčasne s rýchlosťou?

[Pre strelu (Dx)_s ³ h/4p m_ev =3,52.10^-32 m×s^–1, Pre elektrón (Dx)_e ³ h/4p m_ev =1,93.10^-3]

23. Použitím vzťahov neurčitosti odhadnite minimálnu energiu, ktorú môže mať častica s hmotnosťou m, nachádzajúca sa v nekonečne hlbokej jednorozmernej potenciálovej jame šírky a.

24. Doba života excitovaného stavu jadra je Dt = 10^–12 s. Aká je neurčitosť Dl vo vlnovej dĺžke emitovaného fotónu žiarenia g, keď jeho energia je E = 1,6 MeV?

[m]

25. Vypočítajte neurčitosť rýchlosti elektrónu v atóme, keď neurčitosť jeho polohy je aspoň 10 pm (rozmery atómu sú cca 0,1 nm.).

[m×s^–1]

26. S akou presnosťou Dx možno lokalizovať fotón s vlnovou dĺžkou 550 nm na svojej dráhe, keď čas vyžiarenia fotónu atómom je t = 10 ns (pre neurčitosť doby vyžiarenia predpokladajte Dt = t/2)? Aká je relatívna presnosť určenia vlnovej dĺžky (Dl/l)?

27. Pomocou Heisenbergových vzťahov neurčitosti vypočítajte rozmer jadra, keď energia protónu v atómovom jadre je E = 10 MeV.

28. Priraďte de Broglieho vlnovú dĺžku zrnku peľu s hmotnosťou m = 0,05 mg.

[3,3 .10^-34 m]

2. Priraďte de Broglieho vlnovú dĺžku častici s hmotnosťou m = 100 g, pohybujúcej sa priamočiaro rýchlosťou 20 ms^-1.

[3,3 .10^-34 m]

3. Určite koľkokrát je väčšia vlnová dĺžka elektrónu s kinetickou energiou 1 MeV s vlnovou dĺžkou fotónu s energiou 1 MeV.

[18,75]

4. Rozlišovacia schopnosť mikroskopu je limitovaná použitou vlnovou dĺžkou, t.j. z principiálnych dôvodov nemôžu byť rozlíšené detaily, ktoré sú menšie ako použitá vlnová dĺžka. Predpokladajme, že chceme „vidieť“ do vnútra atómu a rozlíšiť detaily rozmerov 10^-11 m. Akú energiu elektrónov, resp. fotónov by bolo treba použiť na tento účel.

[W_ke = 2,41.10^-15 J = 1,5.10⁴ eV ; W_kf = 19,9.10^-15 J = 12,4.10⁴ eV]

5. Je možné bežným optickým mikroskopom dosiahnuť rozlíšenie detailov rozmerov 10^-11 m? Svoju odpoveď zdôvodnite.

6. Aká je frekvencia, energia a hybnosť fotónu s vlnovou dĺžkou 500 nm, keď jeho zotrvačná hmotnosť m = 4,42×10^–36 kg?

[Hz, J, kg×m×s^–1]

7. Vypočítajte maximálnu frekvenciu fotónu a jeho vlnovú dĺžku! Predpokladajte, že fotón môže byť vyžiarený po okamžitom zastavení elektrónu s kinetickou energiou E_k = 100 eV.

[ s^–1, nm ]

8. Akou rýchlosťou sa musí pohybovať elektrón, aby sa jeho kinetická energia rovnala energii fotónu s vlnovou dĺžkou l₁ = 400 nm, resp. l₂ = 700 nm?

[ (pre 400 nm m×s^–1 a 700 nm m×s^–1), kde m₀ je pokojová hmotnosť elektrónu. ]

9. Vypočítajte vlnovú dĺžku de Broglieho vlny odpovedajúcej elektrónu s kinetickou energiou E_k = 1 MeV!

[ pm ]

10. Koľko fotónov vyžaruje za jednu sekundu zdroj monochromatického elektromagnetického žiarenia s vlnovou dĺžkou l = 0,6 mm, keď jeho výkon P je rovný 60 W?

[ N = Plt / hc = 1,81 .10²⁰ ]

11. Výkon žiarivky je P = 5 W. Vypočítajte počet fotónov N so strednou vlnovou dĺžkou l = 350 nm, dopadajúcich za 1 s na 1 m² plochy v rovnorodom prostredí vo vzdialenosti 1 km od zdroja svetla.

[ N = Pl / 4p l² hc = 7,0 .10¹¹ ]

12. Záporne nabitá častica urýchlená potenciálovým rozdielom DU = 206 V má de Broglieho vlnovú dĺžku l = 2 pm. Nájdite hmotnosť tejto častice, ak je známe, že jej náboj sa rovná elementárnemu náboju elektrónu.

[ m = h² / (2l² e DU)]