Príklady z časti elektromagnetické vlny, a aj Maxwellove rovnice
Elektromagnetické vlny
20. Pre súradnice vektora E rovinnej elektromagnetickej vlny platia vzťahy Ex = 0, E y = 0, Ez = 2 cos [p × 1015 (t - x /c)] . Napíšte vzťahy pre súradnice zodpovedajúceho B vektora tejto vlny.
2. Rovinná elektromagnetická vlna, ktorá má frekvenciu f = 50 MHz, sa šíri vákuom. V istom mieste a čase intenzita elektr. poľa vyvolaná touto vlnou dosiahne maximum (amplitúdu) E0 = 120 V/m .
Určte : a) vlnovú dĺžku vlny l , vlnočet s = 1/l a uhlový vlnočet k = 2ps .
b) maximálnu hodnotu (amplitúdu) magnetickej indukcie B0 .
Napíšte vzťahy pre vektory E a B tejto vlny, vyjadrujúce ich závislosti od miesta a času.
3. Predpokladajme, že vektor intenzity elektrického poľa elektromagnetickej vlny šíriacej sa vákuom je vyjadrený vzťahom E = E0 sin (w t - kx) j , kde E0 = 100 V/m , w = 5 × 108 s-1 , a c = 3 × 108 m/s. Určte a) vlnovú dĺžku l , frekvenciu f a uhlové vlnové číslo k = 2p/ l elektromagnetickej vlny b) amplitúdu jej magnetickej indukcie .
Napíšte vzťah pre vektor B tejto vlny.
13. Rovinná elektromagnetická vlna má amplitúdu E vektora 2 × 10-4 V/m . Vypočítajte amplitúdu vektora B .
14. Elektromagnetická vlna šíriaca sa v zápornom smere osi y má v istom mieste a v istom okamihu vektor E smerujúci v kladnom smere osi z , pričom jeho veľkosť je 150 V/m . Aká je veľkosť a aký je smer vektora B v rovnakom mieste a rovnakom okamihu ?
17. Pomocou konštánt eo a mo vypočítajte rýchlosť šírenia elektromagnetických vĺn a ukážte, že výsledok je správny aj rozmerovo.
1. a) Aká má byť frekvencia vysielača elektromagnetických vĺn , aby ich vlnová dĺžka vo vode (er = 81, mr = 1) bola jedna tretina metra ? b) Aká bude vlnová dĺžka týchto vĺn vo vzduchu (er = 1, mr = 1) ? Vypočítajte pomer týchto vlnových dĺžok.
22. Ukážte, že v ľubovoľnom bode priestoru, ktorým sa šíri rovinná elektromagnetická vlna, časovo stredná hodnota objemovej hustoty jej elektrického poľa sa rovná časovo strednej hodnote objemovej hustoty magnetického poľa.
Poyntingov vektor -
intenzita vlnenia
4. Dokážte, že stredná hodnota intenzity (t.j. Poyntingovho vektora) rovinnej monochromatickej vlny sa dá vyjadriť ako
Is = (1/2) eo Eo2 c , alebo Is = (1/2mo) B02 c ,
kde Eo a B0 sú amplitúdy elektrickej, resp. magnetickej zložky elektromagnetickej vlny.
5. Poyntingov vektor elektromagnetickej vlny šíriacej sa vo vákuu je vyjadrený vzťahom
I = (220 W/m2) sin2 [ ( 3,6 × 109 s-1 t ) - 12 m-1 y] j .
a) Aký je smer šírenia vlny ? b) Aká je vlnová dĺžka a frekvencia ? c) Napíšte výrazy pre časovú a priestorovú závislosť vektorov E a B tejto elektromagnetickej vlny.
7. Bodový zdroj elektromagnetického žiarenia má priemerný výkon P = 800 W. Vypočítajte amplitúdy intenzity elektr. poľa E0 a magn. indukcie B0 v bode vzdialenom r = 3,5 m od zdroja. ( eo = 8,86 × 10-12 F/m mo = 4p × 10-7 H/m) .
6. Hélium - neónový laser vysiela kolimovaný zväzok monochromatického svetla. Zväzok šíriaci sa vzduchom má kruhový prierez s polomerom r = 1 mm , pričom intenzita je v celom priereze rovnaká. Celkový priemerný výkon je P = 3,5 mW a vlnová dĺžka l = 633 nm. Vypočítajte a) frekvenciu f monochromatického svetla , b) amplitúdu elektrickej a magnetickej zložky príslušnej elektromagnetickej vlny. Napíšte výraz pre Poyntingov vektor S , jeho závislosť od polohy a času.
8. Vypočítajte časovo strednú hodnotu intenzity rovinnej harmonickej elektromagnetickej vlny, keď veľkosť jej vektora E sa mení podľa vzťahu
E = E0 sin (wt - kx) ,
kde E0 = 120 V/m a frekvencia vlny je f = 50 MHz. ( eo = 8,86 × 10-12 F/m mo = 4p × 10-7 H/m) .
9. Dlhým priamym vodivým drôtom valcového tvaru, s elektrickým odporom R , polomerom r a dĺžkou l prechádza elektrický prúd I . Dokážte, že energia elektromagnetického poľa vchádzajúca do objemu vodiča za jednotku času (cez jeho plášť) sa rovná uvoľnenému Joulovmu teplu RI 2 .
10. Odporová špirála je zhotovená z drôtu, ktorý má priemer 0,6 mm. Jej elektrický odpor je 5 W a prechádza ňou prúd I = 2 A . Vypočítajte veľkosť Poyntingovho vektora, vyjadrujúceho elektromagnetickú energiu vchádzajúcu do vodiča jeho povrchom.
11.Slnečné žiarenie dopadá kolmo na pracovnú plochu zariadenia na premenu slnečnej energie na teplo. Účinnosť zariadenia je 50 % a dodáva priemerný výkon P1 = 80 kW . Rozmery pracovnej plochy pokrytej dokonalým absorbátorom sú 8 m x 20 m . Vypočítajte a) aký priemerný výkon prináša slnečné žiarenie na 1 m2 Zeme v mieste zariadenia, b) tlak a celkovú silu, ktorou žiarenie pôsobí na pracovnú plochu.
22. Aká musí byť amplitúda Poyntingovho vektora S elektromagnetickej vlny, aby amplitúda jej magnetickej zložky (vektora B) dosiahla 10-4 T ?
26. Parabolická anténa rádioteleskopu v Arecibo má v priemere 300 metrov. Toto mimoriadne citlivé zariadenie je schopné zaregistrovať elektromagnetické vlny , ktoré na povrch celej Zeme prinášajú 1 pW . a) Akej hustote toku žiarivej energie (t.j.intenzite vlnenia) to zodpovedá? b) Aký tok energie vtedy zachytáva anténa ? c) Koľko wattov by musel vyžarovať izotropný zdroj v strede našej Galaxie, aby poskytol rovnako intenzívny signál ? (Vzdialenosť Zeme od stredu Galaxie je pribl. 3.104 svetelných rokov, 1 ly = 9,46.1015 metrov)
Tlak
elektromagnetického žiarenia
15. Zo Slnka dopadá na vrchné vrstvy zemskej atmosféry pribl. 1,4 kW žiarivej energie na štvorcový meter. Akým tlakom pôsobí toto žiarenie na Zem, ak predpokladáme, že sa dokonale absorbuje ? Porovnajte tento tlak s normálnym barometrickým tlakom.
23. Častica v slnečnej sústave je pod vplyvom gravitačného poľa Slnka a tlaku slnečného žiarenia. Predpokladajme, že ide o kúsok ľadu, s hustotou pribl. 900 kg/m3 a že všetko dopadajúce žiarenie absorbuje. Ukážte, že existuje kritický polomer častice Ro , pri ktorom sa tieto dva účinky vzájomne kompenzujú a že pri menších rozmeroch prevládne účinok tlaku žiarenia. Ukážte, že Ro nezávisí od vzdialenosti medzi Slnkom a časticou.
Maxwellove rovnice
18. Ukážte, že v platňovom kondenzátore možno Maxwellov posuvný prúd j vyjadriť v tvare
j = C × (dV/ dt ), kde C je kapacita kondenzátora a V napätie medzi jeho platňami
19. Platňový kondenzátor s kruhovými platňami s priemerom 20 cm je nabíjaný vonkajším zdrojom , pričom v kondenzátore tečie posuvný prúd s plošnou hustotou 20 A/m2 . Vypočítajte veľkosť magnetickej indukcie B vo vzdialenosti r = 50 mm od osi symetrie platní. Na tomto mieste vypočítajte aj dE/dt .
Dopplerov jav
12. Akou rýchlosťou by sa musel ku križovatke približovať automobil, aby jeho vodič namiesto červeného signálu na semafóre videl zelený ? ( lč = 620 nm, lz = 540 nm , c = 3 ×108 m/s). Relativistické efekty neuvažujte.
16. Vzdialená galaxia sa od nás vzďaľuje rýchlosťou v = 0,5 c . Vypočítajte, akú vlnovú dĺžku nameriame vodíkovej čiare v optickom spektre galaxie, ak jej laboratórna hodnota je l = 656 nm .
21. Slnko sa otočí okolo svojej osi raz za 24,7 dňa, pričom jeho polomer R = 7× 108 m . Vypočítajte Dopplerov posuv vlnovej dĺžky vodíkovej čiary l = 656 nm na dvoch protiľahlých okrajoch slnečného kotúča.
24. Ukážte, že pri rýchlostiach zdroja u << c platí pre zmenu vlnovej dĺžky pozorovaného elektromagnetického signálu približný vzťah Dl /l = u / c .
25.Ukážte, že ak u je rýchlosť vozidla a f frekvencia signálu vysielaného radarom používaného na určenie rýchlosti vozidiel, tak rozdiel frekvencie medzi prijímaným (t.j. autom odrazeným) a vysielaným signálom je Df = 2uf /c = 2u /l . b) Vypočítajte, aká je zmena frekvencie pri zmene rýchlosti vozidla o 1 km/h , ak základná frekvencia signálu je 2500 MHz !