11.1.4 Vlastná a vzájomná indukčnosť

Magnetický tok F cez plochu ohraničenú závitom (uzavretým vodičom, napr. aj cievkou) môže byť vyvolaný permanentným magnetom nachádzajúcim sa v blízkosti závitu, ale aj elektrickým prúdom prechádzajúcim buď samotným závitom, alebo vodičom nachádzajúcim sa v jeho blízkosti. Ak je magnetický tok F budený elektrickým prúdom I , potom sa ukazuje, že je priamoúmerný pretekajúcemu prúdu :

Ak je magnetický tok budený prúdom tečúcim cez ten istý uzavretý vodič (závit), potom L je vlastná indukčnosť , ak prúdom tečúcim cez iný vodič, ide o vzájomnú indukčnosť.

Uvážime tieto dva prípady - podľa obrázku, kde pre jednoduchosť sú dva uzavreté vodiče nakreslené ako dva závity. Prvým závitom tečie prúd I₁ , druhým I₂ .

Magnetický tok je definovaný integrálom

pričom vektor magnetickej indukcie B sa počíta podľa Biotovho - Savartovho zákona. Pre vektor B₁ v okolí prvého vodiča preto platí

Spojením dvoch predošlých vzorcov dostaneme pre magnetický tok F₂₁ plochou ohraničenou druhým závitom, ale vyvolaným prúdom tečúcim prvým závitom :

(11.1.4.2)

kde L₂₁ , vyjadrený ako plošný integrál, je vzájomná indukčnosť. Podobným postupom možno získať vzťah pre vlastnú indukčnosť, ak namiesto integrácie cez plochu ohraničenú druhým vodičom, sa integruje vektor B₁ cez plochu ohraničenú prvým vodičom.

Vychádzajúc zo vzťahu (11.1.4.1) a z Faradayovho zákona, pre indukované elektromotorické napätie, dostaneme všeobecný vzorec (bez ohľadu na to, či ide o vlastnú, alebo vzájomnú indukčnosť) :

_______________________________________

Poznámka Ak je indukčný tok budený prúdom tečúcim jednak samotným vodičom, jednak vodičom susedným, vzorec 11.1.4.3 bude pozostávať z dvoch členov - člena ktorý obsahuje vlastnú indukčnosť a člena obsahujúceho vzájomnú indukčnosť:

_______________________________________

Jednotkou vlastnej i vzájomnej indukčnosti je henry (H) . Vlastnú indukčnosť veľkosti 1 H má cievka, v ktorej sa pri zmene elektrického prúdu o 1 A za 1 s indukuje na koncoch elektrické napätie 1 V .

_______________________________________

Príklad 11.1.4.1 Vypočítajte vlastnú indukčnosť tenkej toroidálnej cievky, ktorej priemer je r , prierez S , má N závitov a je navinutá na jadre s permeabilitou m (obr.).

Riešenie . Najprv treba vypočítať intenzitu magnetického poľa a magnetickú indukciu v cievke. Použijeme na to zákon celkového prúdu (10.x.x.x) :

Magnetický tok cez jeden závit toroidu je F₁ = BS , cez všetky závity spolu F = NBS = = (m N ² S I)/(2pr) , odkiaľ na základe vzorca 11.1.4.1 pre vlastnú indukčnosť L dostaneme

(11.1.4.4)

Poznámka Na základe vzorca pre vlastnú indukčnosť toroidálnej cievky môžeme získať vzorec pre vlastnú indukčnosť veľmi dlhého solenoidu, keď namiesto obvodu 2pr dosadíme dĺžku solenoidu l .

Príklad 11.1.4.1 Vypočítajte koľko závitov by musela mať cievka s tvarom toroidu bez feromagnetického jadra, aby mala vlastnú indukčnosť L= 0,1 H ? Prierez toroidu S = 1 cm² , stredný polomer r = 2 cm .

Riešenie . Na výpočet použijeme vzorec (11.1.4.4), z ktorého pre počet závitov N dostaneme N = sqrt( L 2pr / Sm_o ) , lebo v toroide m_r = 1 . Po dosadení hodnôt dostaneme výsledok N = 10⁴ závitov.

Kontrolné otázky

1. Definujte veličinu vzájomná indukčnosť

2. Definujte veličinu vlastná indukčnosť

3. Ako sa vyjadruje indukované napätie na cievke s vlastnou indukčnosťou L ?

4. Ako sa volá jednotka vlastnej indukčnosti v sústave SI ?

5. Ktorá cievka má jednotkovú vlastnú indukčnosť ?