No Title

NEROVNOVÁ®NE SYSTÉMY

1. Rieąte problém Verhulstovej evolučnej rovnice $\frac {dy}{dt} = ay - by ^2$ analyticky aj kvalitatívnou analýzou.
Rieąenie: Analyticky: Hµadajte rieąenie tejto diferenciálnej rovnice. Dostanete funkciu $y = \frac {aCe^{at} }{1 + bCe ^ {at }}$ , ktorá má dve stacionárne rieąenia:
$y (t \to \infty) = 0$ pre a<0 a $y (t \to \infty) = \frac{a}{b}$ pre a>0.
Kvalitatívne: Rieąte pomocou metódy malých odchýlok. Dostanete stacionárne stavy:
y1s= 0 stabilný pre a<0 a $y_ {2s}= \frac {a }{b }$ stabilný pre a>0.

2. Pohybová rovnica lineárneho harmonického oscilátora $\frac {d^2 y}{dt^2}=-\omega^2 y$ obsahuje druhú deriváciu podµa času. Rieąte túto rovnicu priamo ako diferenciálnu rovnicu druhého rádu a aj pomocou rozkladu na evolučné rovnice.
Rieąenie: Pri priamom rieąení pouľite ako rieąenie funkciu y = Ce^pt. Pri druhom spôsobe pouľite rozklad rovnice druhého rádu na systém dvoch rovníc prvého rádu $\frac {dq_1}{dt}= q_2$ , $\frac {dq_2}{dt} = -\omega^2 q_1$ a rieąte ich.

3. Určte stacionárne rieąenia pohybovej rovnice lineárneho harmonického oscilátora z predchádzajúceho príkladu a vyąetrite ich stabilitu.
Rieąenie: Rozkladom pohybovej rovnice na dve evolučné rovnice (príklad 2.) a zis»ovaním ich stability, dostanete stacionárne rieąenie y_s=0, $v_s= \frac {dy_s}{dt}=0$ , pričom koeficient v exponente časového vývoja malých odchýliek bude $p_{1,2}=\pm i\omega$ , čo je reľim oscilácií okolo stabilného stredu s uhlovou frekvenciou $\omega$ .

4. Pohybová rovnica tlmeného lineárneho oscilátora má tvar $\frac {d^2 y}{dt^2}+ 2b \frac {dy}{dt}+\omega^2_0 y =0$ , kde b je koeficient útlmu a $\omega^2_0$ je vlastná frekvencia oscilátora. Určte stacionárny stav takéhoto oscilátora a jeho stabilitu. Výsledok interpretujte.
Rieąenie: Stacionárny stav je y_s =0, $\frac {dy_s}{dt}=0$ a koeficient v exponente vývoja malých odchýliek je $p_{1,2}=- b\pm \sqrt {b^2- \omega^2_0 }$ . Takľe pre $b\gt \omega_0$ máme stabilný uzol, pre $b< \omega_0$ máme reľim stabilného ohniska. Pri tomto reľime sa jedná o tlmené oscilácie s uhlovou frekvenciou $\sqrt {\omega^2_0 - b^2 }$ okolo stacionárnej polohy.

5. Máme homogénnu tyč dĺľky l a hmotnosti m, ktorá je upevnená tak, ľe sa môľe otáča» vo vertikálnej rovine (trenie zanedbávame). Takýto systém má dve stacionárne polohy, z ktorých jedna je nestabilná a okolo druhej stacionárnej polohy pri malých odchýlkach harmonicky kmitá. Dokáľte to rozborom stability evolučných rovníc tohoto systému. (Moment zotrvačnosti homogénnej tyče vzhµadom na os prechádzajúcu »aľiskom je $\frac {1}{12}ml^2$ , tiaľové zrýchlenie je g.)
Rieąenie: Stacionárne polohy sú dané rovnicami $\frac {d \varphi_s}{dt}=0$ a $\sin \varphi_s=0$ , kde $\varphi$ je uhol otočenia okolo osi prechádzajúcej bodom upevnenia. Z toho pre stacionárnu polohu dostanete podmienku $\varphi_s=k \pi$ a k je celé číslo. To zodpovedá dvom stacionárnym rieąeniam:
k = 0, 2, 4, ... párne - »aľisko je najniľąie a k = 1, 3, 5, ... nepárne - »aľisko je najvyąąie.
Pre k párne dostávame $p_{1,2}=\pm i\sqrt {\frac {3g}{2l}}$ - reľim oscilácií okolo stabilného stredu. Pre k nepárne je $p_{1,2}=\pm \sqrt {\frac {3g}{2l}}$ - reľim nestabilného sedla.

6. Aplikujte kvalitatívnu anlýzu na rovnicu $\frac{dq}{dt}=a \sin q$ .
Rieąenie: Stacionárne stavy $q_s=n\pi$ , pričom body $(2n+1) \pi$ sú stabilné a body $2n \pi$ sú nestabilné.

7. Na obrázku 1 máme systém dvoch spriahnutých oscilátorov. Kaľdý z nich má hmotnos» m. Tuhos» krajných pruľín je s a tuhos» prostrednej S. Tento systém môľeme popísa» pohybovými rovnicami v tvare $m\frac {d^2x}{dt^2}=-sx-S(x-y)$ a $m\frac {d^2y}{dt^2}=-sy-S(y-x)$ .
Vyąetrite stabilitu systému a určte vlastné frekvencie, s ktorými môľe kmita».

**Obrázok 1:**
$\begin{figure} \begin{center} \includegraphics [width=8.0cm]{nerovs2.eps} \end{center}\end{figure}$

Rieąenie: Stacionárny stav je určený rovnicami x_s=0, $\frac {dx_s}{dt}=0$ , y_s=0 a $\frac {dy_s}{dt}=0$ . Pre exponenciálny faktor časového vývoja porúch dostanete $p_{1,2}=\pm i\sqrt {\frac {2S}{m}+\frac {s}{m}}$ a $p_{3,4}=\pm i\sqrt {\frac {s}{m}}$ - jedná sa o reľim oscilácií okolo stabilného stredu. Pre vlastné frekvencie systému (frekvencie módov) z toho vychádza $f_1=\frac {1}{2 \pi}\sqrt {\frac {2S}{m}+\frac {s}{m}}$ a $f_2=\frac {1}{2 \pi}\sqrt {\frac {s}{m}}$ .

8. Teleso hmotnosti m s kladným elektrickým nábojom e sa pohybuje vplyvom potenciálu $V(x)=V_0 \cos (\pi \frac {x}{x_0})$ . Nájdite stacionárne polohy a určte ich stabilitu.
Rieąenie: Stacionárne polohy sú dané podmienkami x_s=kx₀, $\frac {dx_s}{dt}=0$ . Pre koeficient v exponente časového vývoja odchýlok platí $p_{1,2}=\pm i \sqrt {\frac {\pi^2 eV_0}{mx_0^2}}$ - reľim oscilácií okolo stabilného stredu pre nepárne hodnoty k a $p_{1,2}=\pm \sqrt {\frac {\pi^2 eV_0}{mx_0^2}}$ - reľim nestabilného sedla pre párne hodnoty k. Môľete si vyskúsa» rovnakú úlohu s potenciálom $V(x)=V_0 \cosh (\frac {x}{x_0})$

9. Evolučná rovnica pre veµryby má v prvom priblíľení tvar $\frac {dN}{dt}=aN-bN^2$ . Koµko veµrýb je moľné ročne ulovi», aby nevyhynuli?
Rieąenie: Evolučnú rovnicu prepíąte do tvaru $\frac {dN}{dt}= aN-bN^2 -R$ , kde R je pocet veµrýb vylovených za jednotku času. Ďalej postupujte metódou malých odchýliek a zistíte, ľe aby nevyhynuli, musí by» splnená podmienka $R<\frac {a^2}{4b}$ a stacionárne stabilné rieąenie je $N_s = \frac {1}{2b}\left( a+\sqrt {a^2 - 4bR}\right)$ .

10. Predpokladajme, ľe systém rysov a zajacov je popísaný Voltterovými-Lotkovými rovnicami:
$\frac {dN_1}{dt} =a_1N_1 - bN_1N_2$ - zajace,
$\frac {dN_2}{dt} = - a_2N_2 +bN_1N_2 - R$ - rysy.
Koµko rysov R treba odstreli», aby tento systém neosciloval?
Rieąenie: Stabilný reľim je moľný len s podmienkou R<0, takľe rysy nie je moľné strieµa», ale bolo by ich treba pridáva».

11. Dokáľte, ľe systém popísaný rovnicami:
$\frac {dq_1}{dt}= q_1 + q_2 - q_1(q_1^2 + q_2^2)$ ,
$\frac {dq_2}{dt} = q_2 - q_1 - q_2(q_1^2 + q_2^2)$ ,
vykazuje oscilácie v limitnom cykle.
Rieąenie: Ukáľte, ľe systém je v reľime nestabilného ohniska. Takľe ak by aj bol systém v stacionárnom stave (bod vo fázovom priestore), uľ pri malej fluktuácii sa začne pohybova» po ąpirále od tohoto stacionárneho bodu. Bolo by treba eąte ukáza», ľe tento pohyb je ohraničený, takľe systém naozaj skončí v reľime limitného cyklu a nedôjde k jeho deątrukcii. K tomu uľ ale naąe jednoduché prostriedky nestačia.
Pri vhodnej voµbe $q_1=r \cos \alpha$ , $q_2= r \sin \alpha$ môľete dané rovnice analyticky rieąi» a dostanete rieąenie $\alpha = \alpha_0 - t$ , $r^2 = \frac {Ce^{2t}}{1 + Ce^{2t}}$ , čo naozaj je reľim limitného cyklu.

**Obrázok 2:**
$\begin{figure} \begin{center} \includegraphics [width=9cm]{nerovs1.eps} \end{center}\end{figure}$

12. Pod dlhou horizontálnou vodivou traverzou visí na dvoch rovnakých pruľinách s tuhos»ou k priamy drôt dĺľky L (obr. 2). Ak traverzou a drôtom neprechádza elektrický prúd, je medzi nimi vzdialenos» h. V akej vzdialenosti x sa drôt ustáli, ak traverzou začne prechádza» prúd I₁ a drôtom prúd I₂ toho istého smeru? Aká bude stabilita rieąenia?
Rieąenie: Prepíąte pohybovú rovnicu pre zavesený drôt na dve evolučné rovnice a hµadajte ich stacionárne rieąenia a vyąetrite ich stabilitu. Stacionárne rieąenia dostanete v tvare $x_{s_{1,2}}=\frac {h}{2} \left(1 \pm \sqrt {1-\frac {4b}{ah^2}} \right)=\frac {h}{2}(1 \pm A)$ , a $v=\frac {dx}{dt} = 0$ , pričom platí: $a=\frac {2k}{m}$ a $b=\frac {\mu_0 I_1I_2L}{m}$ . Z podmienky $x_{s_{1,2}} \in \bf R$ vidíte, ľe $0< \frac {4b}{ah^2}<1$ a teda 0<A<1. Pre koeficient v časovej závislosti výchyliek zo stacionárnych polôh dostanete $p_{1,2}=\pm \sqrt {a-\frac {b}{x_s^2}}$ . Z podmienky pre stacionárne rieąenie ax_s² -ahx_s+b=0 vyjadríte $\frac {b}{x_s^2}$ a dosadíte do vz»ahu pre p_1,2. Dostanete nakoniec $p_{1,2}=\pm \sqrt {2a-\frac {2a}{1\pm A}}$ . Pre rieąenie $x_{s_1}=\frac {h}{2}(1 + A)$ bude $p_{1,2}=\pm \sqrt{2a-\frac{2a}{1+A}}=$ $\pm \sqrt{\frac{2aA}{1+A}} \in \bf R$ , takľe toto stacionárne rieąenie je v reľime nestabilného sedla. Pre druhé rieąenie $x_{s_2}= \frac {h}{2}(1 - A)$ bude $p_{1,2}=\pm i \sqrt {\frac {2a}{1-A}-2a}=$ $\pm i \sqrt{\frac{2aA}{1-A}}$ , takľe je v reľime oscilácií okolo stabilného stredu. Uhlová frekvencia týchto oscilácií je $\omega = \sqrt {\frac {2aA}{1-A}}$ .

13. Dokáľte, ľe Van der Pohlov oscilátor s pohybovou rovnicou $\frac {d^2q}{dt^2} + \varepsilon (q^2 - 1)\frac {dq}{dt}+q=0$ môľe vykazova» oscilácie v reľime limitného cyklu.
Rieąenie: Pohybovú rovnicu prevediete na systém dvoch evolučných rovníc: $\frac {dq_1}{dt}= q_2$ a $\frac {dq_2}{dt}=-q_1 - \varepsilon (q_1^2-1)q_2$ , a ukáľete, ľe môľu by» v reľime nestabilného ohniska pre $\varepsilon < 2$ .

14. Zaveďte takú reguláciu do Voltterových-Lotkových systémov, aby po poruąení stacionárneho stavu neoscilovali. Vyuľite pritom výsledok príkladu 10.
Rieąenie: Voltterove-Lotkove rovnice prepíąte do tvaru
$\frac {dN_1}{dt} =a_1N_1 - bN_1N_2$ a $\frac {dN_2}{dt} = - a_2N_2 +bN_1N_2 + R$ ,
a postupujte metódou malých odchýliek. Obe premenné sú nenulové pri stacionárnom rieąení $N_{1s}=\frac {a_2}{b}-\frac {R}{a_1}$ a $N_{2s}=\frac {a_1}{b}$ . Pre koeficienty v exponentách malých výchyliek dostanete $p_{1,2}=\frac {1}{2} \left( - \frac {bR}{a_1}\pm \sqrt {\left(\frac {bR}{a_1}\right)^2 + 4(bR-a_1a_2)} \right)$ . Podmienku pre stabilný reľim bez oscilácií môľete písa» v tvare $p_{1,2} \in \bf R$ a p_1,2<0, z čoho pre R dostanete $R \ge \frac {2a_1^2}{b}\left(\sqrt {1+\frac {a_2}{a_1}-1}\right)$ a súčasne $R \le \frac{a_1a_2}{b}$ .

15. Dokáľte, ľe trojzloľkový systém môľe vykazova» desa» rozličných reľimov činnosti.
Rieąenie: Uvaľujte evolučné rovnice trojzloľkového systému v nasledujúcom tvare:
$\frac {dq_1}{dt}=F_1(q_1,q_2,q_3)$ , $\frac {dq_2}{dt}=F_2(q_1,q_2,q_3)$ a $\frac {dq_3}{dt}=F_3(q_1,q_2,q_3)$ .
Analyzujte stabilitu rieąení tohoto systému. To vedie na rovnicu tretieho rádu pre koeficienty v exponentách odchýlok od stacionárnych rieąení a z toho automaticky dostanete hµadaných desa» reľimov.

16. Jednoduchý dvojzloľkový symbiotický systém sa dá popísa» evolučnými rovnicami:
$\frac {dN_1}{dt}=A'_1N_1-C_1N_1$ ,
$\frac {dN_2}{dt}=A'_2N_2-C_2N_2$ ,
pričom pre koeficienty A'₁, A'₂ platí A'₁=A₁+B₁N₂ a A'₂=A₂+B₂N₁. V tejto závislosti je moľné vidie» princíp symbiózy. Ak totiľ pribúda jedincov N₁, zvačąuje sa koeficient A'₂ a zvačąuje sa aj počet jedincov druhého druhu N₂. A platí to samozrejme aj opačne. Vyąetrite stabilitu stacionárnych rieąení takéhoto symbiotického systému.
Rieąenie: Okrem triviálneho nulového rieąenie získate metódou malých odchýliek rieąenie $N_{1s}= \frac {C_2-A_2}{B_2}$ a $N_{2s}= \frac {C_1-A_1}{B_1}$ . Pre exponentu v odchýlkach malých rieąení dostanete potom $p_{1,2}=\pm \sqrt {((C_1-A_1)(C_2-A_2)}$ , z čoho vidíte, ľe takýto symbiotický systém je v reľime nestabilného sedla.

17. Dokáľte, ľe aj bez pouľitia otrockého princípu, sa dá nájs» bifurkačný bod pre laser.
Rieąenie: Vychádzajte z evolučných rovníc pre laser
$\frac {dn}{dt}=a_1nn_i-b_1n$ , $\frac {dn_i}{dt}=J - a_2nn_i-b_2n_i$ .
Dostanete dva moľné stacionárne stavy:
n_sa=0 a $n_{isa}=\frac {J}{b_2}$ , $n_{sb}=\frac {a_1J}{b_1a_2}-\frac {b_2}{a_2}$ a $n_{isb}=\frac {b_1}{a_1}$ .
Z poľiadavky, aby bol v laseri nenulový počet fotónov n>0, dostaneme pre plnenie, pri ktorom nastáva vynútená emisia, podmienku $J\gt\frac {b_1b_2}{a_1}=J_k$ , kde J_k je kritická hodnota plnenia. Analýzou stability prvého stacionárneho rieąenia zasa zistíte, ľe pre J<J_k je toto prvé rieąenie stabilné. Takľe pri kritickej hodnote plnenia J_k dochádza pri lasery k bifurkácii - zmení sa reľim činnosti.

18. Dokáľte, ľe pri konątantnej zá»aľi, môľe Van der Pohlov oscilátor vykonáva» kmity (v reľime limitného cyklu) okolo vysunutej stacionárnej polohy (analógia s mostom, ktorý je vystavený horizontálnej zá»aľi).Uvaľujte jednorozmerný prípad, pri ktorom dodatočná konątantná sila pôsobí v smere osi x.
Rieąenie: Pohybovú rovnicu pre Van der Pohlov oscilátor v tomto prípade môľete písa» ako $\frac {d^2x}{dt^2}= \frac {P'}{m}-\frac {k'}{m}x -\frac {\varepsilon'}{m}(x^2 -x_0^2)\frac {dx}{dt}=P-kx-\varepsilon (x^2-x_0^2)\frac {dx}{dt}$ . P' je pôsobiaca sila. Po prepísaní tejto rovnice na sústavu dvoch evolučných rovníc vyąterite stabilitu rieąení a dostanete, ľe stacionárny stav je $q_{1s}=x=\frac {P}{k}$ a $q_{2s}=\frac {dx}{dt}=0$ . Rieąenie bude oscilova» ak $\varepsilon <\big \arrowvert \frac {\sqrt {4k }}{\frac {P^2}{k^2}-x_0^2} \big \arrowvert$ . Ak P>kx₀ budú tieto oscilácie tlmené. Ak P<kx₀ budú rieąením oscilácie v reľime limitného cyklu.

19. Plazma v polovodiči je opísaná evolučnými rovnicami
$\frac {de}{dt} = a_1 e-beh$ ,
$\frac {dh}{dt} = a_2 h - beh$ ,
kde e a h je koncentrácia elektrónov a dier a a₁, a₂, b sú kladné konątanty. V akom reľime bude tento systém v stacionárnom stave?
Rieąenie: Pomocou kvalitatívnej analýzy dostanete dve stacionárne rieąenia e_sa = 0, h_sa = 0 a $e_{sb} = \frac {a_2}{b}$ , $h_sb = \frac {a_1}{b}$ . Prvé rieąenie je v reľime nestabilného uzla (p₁=a₁ a p₂=a₂) a druhé rieąenie je v reľime nestabilného sedla ( $p_{1,2}=\pm \sqrt{a_1a_2}$ ).

20. Nájdite podmienky stability rieąenia systému opísaného evolučnou rovnicou
$\frac {dq}{dt}= ae^{bq}-c$ .
Rieąenie: Stacionárne rieąenie $q_s = \frac 1b \ln \frac ac$ je stabilné len ak sú rozdielne znamienka koeficientov b a c.

21. Pohybovú rovnicu pre pohyb telesa hmotnosti m v gravitačnom poli telesa hmotnosti M ( $M \gg m$ ) v n rozmernom priestore môľeme napísa» v tvare
$\frac {d^2 r}{dt^2}=-\frac {4 \pi \kappa M}{A} \frac {1}{r^{n-1}}+\frac {L^2}{m^2}\frac {1}{r^3}$ ,
kde A je konątanta a L je moment hybnosti telesa m. Ukáľte, ľe pre rozmer priestoru $n \ge 4$ nedostaneme pre tento problém oscilujúce rieąenia.
Rieąenie: Pre koeficienty v časovom rozvoji porúch dostanete pomocou kvalitatívnej analýzy vz»ah $p_{1,2}=\pm \frac {L}{mr_s^2}\sqrt {n-4}$ , v ktorom r_s je stacionárna hodnota polomeru r. Koeficienty p_1,2 budú ma» komplexné hodnoty len pre n<4.

22. Interakcia dvoch sociálnych táborov je opísaná sústavou evolučných rovníc:
$\frac {dN_1}{dt}= P_{12}N_2-P_{21}N_1$ ,
$\frac {dN_2}{dt}= P_{21}N_1-P_{12}N_2$ ,
pričom N₁+N₂=N a pre koeficienty platí P₁₂ = const a $P_{21}=P_{21}^0-\lambda N_1$ . Určte podmienku na existenciu stacionárneho rieąenia.
Rieąenie: Stabilné rieąenie existuje len pre hodnotu $\lambda \le \frac {(P_{12}+P_{21}^0)^2}{4NP_{12}}$ .

23. Evolučná rovnica pre povrchovú teplotu Zeme T v interakcii so slnečným ľiarením má tvar
$C \frac {dT}{dt}= \frac Q4 [1-\alpha(T)]-\varepsilon \sigma T^4$ ,
kde C je renormalizovaná tepelná kapacita Zeme, Q je solárna konątanta (1360 W/m²), $\varepsilon$ je koeficient charakterizujúci odchýlku tepelného vyľarovania Zeme od čierneho telesa (0,61) a $\sigma$ je Stefanova-Boltzmannova konątanta. Funkcia $\alpha (T)$ je daná vz»ahom $\alpha (T)= a-bT$ , pričom a=2,75 a b=0.0085. Určte stacionárne stavy a preskúmajte ich stabilitu.
Rieąenie: Stacionárne stavy, určené pomocou počítača, vychádzajú T₁=259,4 K a T₂=293,0 K. Prvé rieąenie je nestabilné, druhé stabilné.

24. Vz»ah medzi teplotou oceánu a mnoľstvom µadu v ňom je v renormalizovaných súradniciam daný systémom rovníc
$\frac {dq_1}{dt}=bq_1-aq_2-q_1q_2^2$ ,
$\frac {dq_2}{dt}=q_1-q_2$ .
Určte podmienky existencie stacionárneho stavu a jeho stabilitu.
Rieąenie: Z podmienky existencie nenulového reálneho stacionárneho stavu dostanete pre hodnoty koeficientov a, b nerovnos» b > a. Aby bol tento stav aj stabilný (reľim stabilného uzla) musí by» navyąe splnená podmienka a<1.

25. Nájdite evolučné rovnice kovového drôtu v ľiarovke, ktorou prechádza elektrický prúd a stanovte podmienky stabilného reľimu.(Predpokladajte, ľe poznáte priemer drôtu d, jeho merný odpor $\rho$ pri teplote okolia T₀ a teplotný koeficient odporu $\alpha$ .)
Rieąenie: Uvaľujte elektrický výkon, ktorým sa drôt zahrieva, stratu tepla ohrievaním a stratu tepla vyľarovaním. Nezabudnite na zmenu odporu s teplotou. Evolučná rovnica napokon bude $C\frac {dT}{dt}= \frac {4\rho l}{\pi d^2}I^2[1+\alpha(T-T_0)]-\pi dl \sigma (T^4-T_0^4)$ , kde C je tepelná kapacita a l je dĺľka drôtu. Stacionárne stavy je moľné pre konkrétnu hodnotu prúdu určti» pomocou počítača. Analýzou stability rieąení dostaneme podmienku pre prúd $I<\sqrt{\frac{\pi^2d^3\sigma T_s}{\rho \alpha}}$ .

26. Ukáľte, ľe pre vznik priestorovej ątrukturalizácie by (teoreticky) stačilo predpoklada», ľe rýchlos» presunu sa mení.
Rieąenie: Vychádzajte z evolučnej rovnice $\frac {\partial n}{\partial t}=D\frac {\partial^2 n}{\partial x^2}-v\frac {\partial n}{\partial x}-n\frac {\partial v}{\partial x}+F(n)$ ,
pričom predpokladajte nulovú pôsobiacu silu a závislos» rýchlosti v=v₀(1-ax). Analýzou stability stacionárneho rieąenia, za predpokladu, ľe koeficient k, charakterizujúci priestorový vývoj fluktuácií, musí by» komplexný, dostanete podmienku $a\gt\frac {v'^2}{4v_0D}$ , kde v' je hodnota rýchlosti v bode, v ktorom vzniká ątrukturalizácia.

27. Aplikujte kvalitatívnu analýzu na trojparametrický Lorentzov (klimatický) systém, ktoý je daný trojicou evolučných rovníc
$\frac {dq_1}{dt}= \sigma (q_2-q_1)$ ,
$\frac {dq_2}{dt}= rq_1-q_2-q_1q_3$ ,
$\frac {dq_3}{dt}= q_1q_2-bq_3$ .
Rieąenie: Systém má tri rôzne stacionárne rieąenia: q_1sa=q_2sa=q_3sa=0, $q_{1sb}=q_{2sb}=\sqrt{b(r-1)}$ , q_3sb=r-1 a $q_{1sc}=q_{2sc}=-\sqrt{b(r-1)}$ , q_3sc=r-1. Prvé rieąenie je stabilné ak b>0 a r<1, stabilitu ostatných rieąení je moľné urči» pomocou počítača.

28. Cievka, napájaná prúdom I, sa chladí médiom s teplotou T₀ tak, ľe odvod tepla z jej povrchu sa odohráva podµa Newtonovho zákona a pre teplo odobraté z cievky za čas dt môľete písa» dQ=KS(T-T₀)dt, kde K je koeficient prestupu tepla a S je obsah povrchu cievky. Určte kritický prúd, ktorý môľe cievkou prechádza», ak teplota topenia drôtu, z ktorého je cievka zhotovená, je T_T, jeho teplotný koeficient odporu je $\alpha$ a odpor drôtu pri teplote T₀ je R₀.
Rieąenie: Pre kritický prúd dostanete vz»ah $I_K=\sqrt{\frac{KS(T_T-T_0)}{R_0[1+\alpha(T_T-T_0)]}}$ .

29. Prepíąte Volterove-Lotkove rovnice, Selkovove rovnice pre glykolýzu a rovnice pre fotosyntézu do diskrétnej podoby.
Rieąenie: Vyuľite transformácie $\frac {dq}{dt}=\frac{q_{n+1}-q_n}{\tau}$ .

30. Ukáľte, ľe uľ na molekulárnej úrovni je prítomná selekcia. Uvaľujte vzájomné reakcie troch látok s koncentráciami n₀, n₁ a n₂, ktoré sú popísané systémom evolučných rovníc
$\frac {dn_1}{dt}=a_1n_0n_1 -b_1n_1$ ,
$\frac {dn_2}{dt}=a_2n_0n_2 -b_2n_2$ ,
$\frac {dn_0}{dt}=J_0-(a_1n_1 +a_2n_2)n_0$ ,
kde a₁, a₂, b₁ a b₂ sú kladné konątanty a J₀ je konątantný prítok látky n₀.
Rieąenie: Dostanete dve stacionárne rieąenia n_1sa=0, $n_{2sa}=\frac {J_0}{b_2}$ , $n_{0sa}=\frac {b_2}{a_2}$ a $n_{1sb}=\frac {J_0}{b_1}$ , n_2sb=0, $n_{0sb}=\frac {b_1}{a_1}$ . Prvé rieąenie je stabilné keď $\frac {a_1b_2}{a_2b_1}<1$ , druhé je stabilné keď $\frac {a_1b_2}{a_2b_1}\gt 1$ . čiľe podµa konkrétnych hodnôt koeficientov a a b bude prevláda» buď prvá alebo druhá látka.

31. Evolučná rovnica fotoelektrónov v polovodiči má tvar $\frac {dn}{dt}=g_0-rn_0n$ , kde g₀ a n₀ sú konątanty. Aká je stacionárna hodnota koncentrácie elektrónov n v zaąumenom prostredí, kde koeficient r fluktuuje podµa vz»ahu $r=r_0(1+\xi)$ ? (Ide o biely ąum.)
Rieąenie: Vychádzajte z Itovej rovnice. Ak v zaąumenom prostredí platí evolučná rovnica $\frac {dn}{dt}=F(n)+ \xi g(n)$ , pre stacionárny stav dostanete podmienku $F(n)-\sigma^2g(n)g'(n)=0$ .V naąom prípade dostanete stacionárnu koncentráciu $n_s=\frac {g_0}{r_0 n_0(1+\sigma^2 r_0 n_0)}$ .

32. Guµôčka sa pohybuje vo viskóznom prostredí, pričom jej rýchlos» je opísaná rovnicou $\frac {dv}{dt}=a-kv$ . Aká je stacionárna hodnota rýchlosti, ak koeficient k fluktuuje podµa vz»ahu $k=k_0(1+\xi)$ ?
Rieąenie: Treba vychádza» z Itovej rovnice. Stacionárna hodnota rýchlosti bude $v_s=\frac {a}{k_0(1+k_0 \sigma^2)}$ .

33. Obvod istého územia bol pouľitím meracieho pásu dĺľky $\epsilon_1=10$ m určený na l₁= 10 km. Akú dĺľku l₂ by sme namerali pri pouľití pásma dĺľky $\epsilon_2=$ 2 m, ak fraktálová dimenzia hranice daného územia je D=1,2?
Rieąenie: Vyuľitím vz»ahu pre fraktálovú dimenziu dostanete rovnos» $D=-\frac {\ln (l_1/\epsilon_1)}{\ln (k\epsilon_1)}$ a $D=-\frac {\ln (l_2/\epsilon_2)}{\ln (k\epsilon_2)}$ . Konątanta k vystupuje vo vz»ahu preto, lebo ten platí presne len v limite $\epsilon \to 0$ . Vďaka tejto konątante navyąe dosiahneme, ľe v logaritmoch v menovateli bude bozrozmerný výraz. Po eliminovaní k dostanete vz»ah $l_2=l_1 \left( \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} \right)^{D-1}=$ 13,8 km.

34. Nájdite základný nenulový stav a určte jeho stabilitu pre systém opísaný logistickou rovnicou $q_{n+1}=\lambda q_n(1-q_n^2)$ . Predpokladajte, ľe $0 \le q_n \le 1$ .
Rieąenie: Stacionárny stav $q_s=\sqrt{1-1/\lambda}$ je stabilný pre parameter $1 \le \lambda \le 2$ .

Dokument bol vygenerovaný programom latex2html 16. 5. 2002.